江蘇省揚州市2009高三教學情況調查（一）
數 學
一、 填空題：本大題共14題，每小題5分，共70 分。
1．若集合
，
，則集合
的元素個數為
2．已知
，
是虛數單位，若
，則a+b的值是
3．式子
的值為
4．正方體的內切球與其外接球的體積之比為____________.
5．在等比數列{
}中，若
，則
_____.
6.如果實數x,y滿足x2+y2=1,則（1+xy）(1－xy)的最小值為
7．已知
且
，那么
____________
8．泰州實驗中學有學生3000人，其中高三學生600人．為了解學生的身體素質情況，
采用按年級分層抽樣的方法，從學生中抽取一個300人的樣本．
則樣本中高三學生的人數為 ．
9．函數
的單調減區(qū)間為____________________．
10．已知總體的各個體的值由小到大依次為2，3，3，7，a，b，12，13.7，18.3，20，且總體的中位數為10.5．若要使該總體的方差最小，則a、b的取值分別是 ．
11．在平面直角坐標系中，點
的坐標分別為
．
如果
是
圍成的區(qū)域（含邊界）上的點，那么當
取到最大值時，
點
的坐標是
．
12．如圖所示，在△OAB中，OA＞OB，OC＝OB，設＝a，＝b，若＝λ?，則實數λ的值為 （用向量a，b 表示 ）
13． 若不等式
成立的一個充分非必要條件是
，則實數
的取值范圍是
。
14．在計算“
”時，某同學學到了如下一種方法：先改寫第
項：
，由此得
，
，
相加，得
．
類比上述方法，請你計算“
”，其結果寫成關于
的一次因式的積的形式為
．
二、 解答題：本大題共90分，解答應寫出文字說明，證明過程和演算步驟。
15．（本小題滿分14分）
已知△ABC的面積S滿足3≤S≤3
且
的夾角為
，
（Ⅰ）求的取值范圍；
（Ⅱ）求
的最小值。
16．（本小題滿分14分）
在四棱錐P－ABCD中，四邊形ABCD是梯形，AD∥BC，∠ABC=90°，平面PAB⊥平面ABCD，
平面PAD⊥平面ABCD.
（1）求證：PA⊥平面ABCD；
（2）若平面PAB
平面PCD
，問：直線l能否與平面ABCD平行？
請說明理由.
17．（本小題滿分14分）
已知數列
、
中，對任何正整數都有：
．
（1）若數列是首項和公差都是1的等差數列，求證：數列是等比數列；
（2）若數列是等比數列，數列是否是等差數列，若是請求出通項公式，若不是請說明理由；
18．（本小題滿分16分）
已知某食品廠需要定期購買食品配料，該廠每天需要食品配料
元/千克，每次購買配料需支付運費236元.每次購買來的配料還需支付保管費用，其標準如下: 7天以內（含7天），無論重量多少，均按10元/天支付；超出7天以外的天數，根據實際剩余配料的重量，以每天0.03元/千克支付.
（Ⅰ）當9天購買一次配料時，求該廠用于配料的保管費用P是多少元？
（Ⅱ）設該廠
天購買一次配料，求該廠在這天中用于配料的總費用
（元）關于的函數關系式，并求該廠多少天購買一次配料才能使平均每天支付的費用最少?
19．（本小題滿分15分）
如圖，橢圓
(a>b>0)的左、右焦點分別為F1、F2，M、N是橢圓右準線上的兩個動點，
且
.
（1）設C是以MN為直徑的圓，試判斷原點O與圓C的位置關系；
（2）設橢圓的離心率為
，MN的最小值為
，求橢圓方程.
20．（本小題滿分16分）
已知函數
（I）求曲線
處的切線方程；
（Ⅱ）求證函數
在區(qū)間[0，1]上存在唯一的極值點，并用二分法求函數取得極值時相應x的近似值（誤差不超過0.2）；（參考數據e≈2.7，
≈1.6，e0.3≈1.3）
（III）當
試求實數
的取值范圍。
1．3； 2 ． -1； 3． -2；4．
5．3 6.
7 ．
8. 
9. （0,1） 10. 
11.
.
12． 
；13． 
；14． 
;
15．解：（Ⅰ）由題意知
……………………3分
……………………4分
的夾角
……………………7分
（Ⅱ）
……………………10分
有最小值。
的最小值是
……………………14分
16．解：（1）【證明】因為∠ABC=90°，AD∥BC，所以AD⊥AB.
而平面PAB⊥平面ABCD，且平面PAB
平面ABCD=AB,
所以AD⊥平面PAB, 所以AD⊥PA. ………………3分
同理可得AB⊥PA. ………………5分
由于AB、AD
平面ABCD，且ABAD=C,
所以PA⊥平面ABCD. ………………………7分
（2）【解】（方法一）不平行. ………………………9分
證明：假定直線l∥平面ABCD,
由于l平面PCD，且平面PCD平面ABCD=CD, 所以
∥CD. ……………… 11分
同理可得l∥AB, 所以AB∥CD. …………………… 13分
這與AB和CD是直角梯形ABCD的兩腰相矛盾,
故假設錯誤，所以直線l與平面ABCD不平行. …………………… 14分
（方法二）因為梯形ABCD中AD∥BC,
所以直線AB與直線CD相交，設ABCD=T.
…………………… 11分
由T
CD，CD平面PCD得T平面PCD.
同理T平面PAB.
…………………… 13分
即T為平面PCD與平面PAB的公共點，于是PT為平面PCD與平面PAB的交線.
所以直線與平面ABCD不平行.
…………………… 14分
17．解：（1）依題意數列
的通項公式是
，
故等式即為
，
同時有
，
兩式相減可得
………………………………3分
可得數列
的通項公式是
，
知數列是首項為1，公比為2的等比數列。 ………………………6分
（2）設等比數列的首項為
，公比為
，則
，從而有：
，
又
，
故
……………………………9分
，
要使
是與
無關的常數，必需
， …………………………11分
即①當等比數列的公比時，數列是等差數列，其通項公式是
；
②當等比數列的公比不是2時，數列不是等差數列． ………………14分
18．解：（Ⅰ）當9天購買一次時，該廠用于配料的保管費用
P=70+
=88(元)
……………………………4分
（Ⅱ）（1）當x≤7時
y=360x+10x+236=370x+236 ………………5分
（2）當 x>7時
y=360x+236+70+6[(
)+(
)+……+2+1]
=
………………7分
∴
………………8分
∴設該廠x天購買一次配料平均每天支付的費用為f(x)元
………………11分
當x≤7時
當且僅當x=7時
f(x)有最小值
（元）
當x＞7時
=
≥393
當且僅當x=12時取等號
∵393<404
∴當x=12時 f(x)有最小值393元 ………………16分
19．解：（1）設橢圓
的焦距為
則其右準線方程為x＝
，且F1(－c, 0), F2(c, 0).
……………2分
設M
，
則
＝
.
……………………4分
因為
，所以
，即
.
于是
，故∠MON為銳角.
所以原點O在圓C外. ………………………7分
（2）因為橢圓的離心率為
，所以a=
于是M 
，且
………………………9分
MN2＝(y1－y2)2＝y(tǒng)12+y22－2y1y2
.………… 12分
當且僅當
y1＝－y2＝
或y2＝－y1＝時取“=”號，
………………… 14分
所以(MN)min=
故所求的橢圓方程是
. ………………… 16分
22．解：（Ⅰ）
，………………………………1分
又
，
處的切線方程為
………………………3分
（Ⅱ）
，
…………………………………………4分
令
，
則
上單調遞增，
上存在唯一零點，
上存在唯一的極值點………6分
取區(qū)間
作為起始區(qū)間，用二分法逐次計算如下
區(qū)間中點坐標
中點對應導數值
取區(qū)間
1
0.6
0.3
由上表可知區(qū)間的長度為0.3，所以該區(qū)間的中點
，到區(qū)間端點距離小于0.2，因此可作為誤差不超過0.2的一個極值點的相應x的值。
取得極值時，相應
………………………9分
（Ⅲ）由
，
即
，
，………………………………………12分
令
令
上單調遞增，
，
因此
上單調遞增，
則
，
的取值范圍是
………………………………………16分
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