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四川師大附中高2006屆高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)（十四）實(shí)驗(yàn)修訂版

§14. 復(fù) 數(shù)  知識(shí)要點(diǎn)

1. ⑴復(fù)數(shù)的單位為i，它的平方等于－1，即.

⑵復(fù)數(shù)及其相關(guān)概念：

①      復(fù)數(shù)―形如a + bi的數(shù)（其中）；

②      實(shí)數(shù)―當(dāng)b = 0時(shí)的復(fù)數(shù)a + bi，即a；

③      虛數(shù)―當(dāng)時(shí)的復(fù)數(shù)a + bi；

④      純虛數(shù)―當(dāng)a = 0且時(shí)的復(fù)數(shù)a + bi，即bi.

⑤      復(fù)數(shù)a + bi的實(shí)部與虛部―a叫做復(fù)數(shù)的實(shí)部，b叫做虛部（注意a，b都是實(shí)數(shù)）

⑥      復(fù)數(shù)集C―全體復(fù)數(shù)的集合，一般用字母C表示.

⑶兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的定義：

.

⑷兩個(gè)復(fù)數(shù)，如果不全是實(shí)數(shù)，就不能比較大小.

注：①若為復(fù)數(shù)，則若，則.（×）[為復(fù)數(shù)，而不是實(shí)數(shù)]

若，則.（√）

②若，則是的必要不充分條件.（當(dāng)，

時(shí)，上式成立）

2. ⑴復(fù)平面內(nèi)的兩點(diǎn)間距離公式：.

其中是復(fù)平面內(nèi)的兩點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)，間的距離.

由上可得：復(fù)平面內(nèi)以為圓心，為半徑的圓的復(fù)數(shù)方程：.

⑵曲線方程的復(fù)數(shù)形式：

①為圓心，r為半徑的圓的方程.

②表示線段的垂直平分線的方程.

③為焦點(diǎn)，長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為a的橢圓的方程（若，此方程表示線段）.

④表示以為焦點(diǎn)，實(shí)半軸長(zhǎng)為a的雙曲線方程（若，此方程表示兩條射線）.

⑶絕對(duì)值不等式：

設(shè)是不等于零的復(fù)數(shù)，則

①.

左邊取等號(hào)的條件是，右邊取等號(hào)的條件是.

②.

左邊取等號(hào)的條件是，右邊取等號(hào)的條件是.

注：.

3. 共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)：

，（a + bi）              

（）                              

注：兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)之差是純虛數(shù). （×）[之差可能為零，此時(shí)兩個(gè)復(fù)數(shù)是相等的]

4. ⑴①復(fù)數(shù)的乘方：

②對(duì)任何，及有

③ 

注：①以上結(jié)論不能拓展到分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，否則會(huì)得到荒謬的結(jié)果，如若由就會(huì)得到的錯(cuò)誤結(jié)論.

②在實(shí)數(shù)集成立的. 當(dāng)為虛數(shù)時(shí)，，所以復(fù)數(shù)集內(nèi)解方程不能采用兩邊平方法.

⑵常用的結(jié)論：

若是1的立方虛數(shù)根，即，則                                                  .

5.  ⑴復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)及純虛數(shù)的充要條件：

①.

②若，是純虛數(shù).

⑵模相等且方向相同的向量，不管它的起點(diǎn)在哪里，都認(rèn)為是相等的，而相等的向量表示同一復(fù)數(shù). 特例：零向量的方向是任意的，其模為零.

注：.

6. ⑴復(fù)數(shù)的三角形式：.

輻角主值：適合于0≤＜的值，記作.

注：①為零時(shí)，可取內(nèi)任意值.

②輻角是多值的，都相差2的整數(shù)倍.

③設(shè)則.

⑵復(fù)數(shù)的代數(shù)形式與三角形式的互化：

，，.

⑶幾類三角式的標(biāo)準(zhǔn)形式：

7. 復(fù)數(shù)集中解一元二次方程：

在復(fù)數(shù)集內(nèi)解關(guān)于的一元二次方程時(shí)，應(yīng)注意下述問題：

①當(dāng)時(shí)，若＞0，則有二不等實(shí)數(shù)根；若=0，則有二相等實(shí)數(shù)根；若＜0，則有二相等復(fù)數(shù)根（為共軛復(fù)數(shù)）.

②當(dāng)不全為實(shí)數(shù)時(shí)，不能用方程根的情況.

③不論為何復(fù)數(shù)，都可用求根公式求根，并且韋達(dá)定理也成立.

8. 復(fù)數(shù)的三角形式運(yùn)算：

棣莫弗定理：.