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四川師大附中高2006屆高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)（十三）實(shí)驗(yàn)修訂版

§13. 導(dǎo) 數(shù)  知識要點(diǎn)

1. 導(dǎo)數(shù)（導(dǎo)函數(shù)的簡稱）的定義：設(shè)是函數(shù)定義域的一點(diǎn)，如果自變量在處有增量，則函數(shù)值也引起相應(yīng)的增量；比值稱為函數(shù)在點(diǎn)到之間的平均變化率；如果極限存在，則稱函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，并把這個(gè)極限叫做在處的導(dǎo)數(shù)，記作或，即=.

注：①是增量，我們也稱為“改變量”，因?yàn)?sub>可正，可負(fù)，但不為零.

②以知函數(shù)定義域?yàn)?sub>，的定義域?yàn)?sub>，則與關(guān)系為.

2. 函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)與點(diǎn)處可導(dǎo)的關(guān)系：

⑴函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)是在點(diǎn)處可導(dǎo)的必要不充分條件.

可以證明，如果在點(diǎn)處可導(dǎo)，那么點(diǎn)處連續(xù).

事實(shí)上，令，則相當(dāng)于.

于是

⑵如果點(diǎn)處連續(xù)，那么在點(diǎn)處可導(dǎo)，是不成立的.

例：在點(diǎn)處連續(xù)，但在點(diǎn)處不可導(dǎo)，因?yàn)?sub>，當(dāng)＞0時(shí)，；當(dāng)＜0時(shí)，，故不存在.

注：①可導(dǎo)的奇函數(shù)函數(shù)其導(dǎo)函數(shù)為偶函數(shù).

②可導(dǎo)的偶函數(shù)函數(shù)其導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù).

3. 導(dǎo)數(shù)的幾何意義：

函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義就是曲線在點(diǎn)處的切線的斜率，也就是說，曲線在點(diǎn)P處的切線的斜率是，切線方程為

4. 求導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則：

（為常數(shù)）

注：①必須是可導(dǎo)函數(shù).

②若兩個(gè)函數(shù)可導(dǎo)，則它們和、差、積、商必可導(dǎo)；若兩個(gè)函數(shù)均不可導(dǎo)，則它們的和、差、積、商不一定不可導(dǎo).

例如：設(shè)，，則在處均不可導(dǎo)，但它們和

在處均可導(dǎo).

5. 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則：或

復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則可推廣到多個(gè)中間變量的情形.

6. 函數(shù)單調(diào)性：

⑴函數(shù)單調(diào)性的判定方法：設(shè)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，如果＞0，則為增函數(shù)；如果＜0，則為減函數(shù).

⑵常數(shù)的判定方法；

如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)恒有=0，則為常數(shù).

注：①是f（x）遞增的充分條件，但不是必要條件，如在上并不是都有，有一個(gè)點(diǎn)例外即x=0時(shí)f（x） = 0，同樣是f（x）遞減的充分非必要條件.

②一般地，如果f（x）在某區(qū)間內(nèi)有限個(gè)點(diǎn)處為零，在其余各點(diǎn)均為正（或負(fù)），那么f（x）在該區(qū)間上仍舊是單調(diào)增加（或單調(diào)減少）的.

7. 極值的判別方法：（極值是在附近所有的點(diǎn)，都有＜，則是函數(shù)的極大值，極小值同理）

當(dāng)函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)時(shí)，

①如果在附近的左側(cè)＞0，右側(cè)＜0，那么是極大值；

②如果在附近的左側(cè)＜0，右側(cè)＞0，那么是極小值.

也就是說是極值點(diǎn)的充分條件是點(diǎn)兩側(cè)導(dǎo)數(shù)異號，而不是=0^①. 此外，函數(shù)不可導(dǎo)的點(diǎn)也可能是函數(shù)的極值點(diǎn)^②. 當(dāng)然，極值是一個(gè)局部概念，極值點(diǎn)的大小關(guān)系是不確定的，即有可能極大值比極小值小（函數(shù)在某一點(diǎn)附近的點(diǎn)不同）.

注①： 若點(diǎn)是可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)，則=0. 但反過來不一定成立. 對于可導(dǎo)函數(shù)，其一點(diǎn)是極值點(diǎn)的必要條件是若函數(shù)在該點(diǎn)可導(dǎo)，則導(dǎo)數(shù)值為零.

例如：函數(shù)，使=0，但不是極值點(diǎn).

②例如：函數(shù)，在點(diǎn)處不可導(dǎo)，但點(diǎn)是函數(shù)的極小值點(diǎn).

8. 極值與最值的區(qū)別：極值是在局部對函數(shù)值進(jìn)行比較，最值是在整體區(qū)間上對函數(shù)值進(jìn)行比較.

注：函數(shù)的極值點(diǎn)一定有意義.

9. 幾種常見的函數(shù)導(dǎo)數(shù)：

I.（為常數(shù)）                      

（）                   

II.                             

III. 求導(dǎo)的常見方法：

①常用結(jié)論：.

②形如或兩邊同取自然對數(shù)，可轉(zhuǎn)化求代數(shù)和形式.

③無理函數(shù)或形如這類函數(shù)，如取自然對數(shù)之后可變形為，對兩邊求導(dǎo)可得.