2005年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試
文科數(shù)學(xué)（必修+選修Ⅰ）
本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分. 共150分. 考試時(shí)間120分鐘.
第I卷
其中R表示球的半徑，
球的體積公式
V=，
其中R表示球的半徑
如果事件A、B互斥，那么
P（A+B）=P(A)+P(B)
如果事件A、B相互獨(dú)立，那么
P（A?B）=P(A)?P(B)
如果事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是P，那么
n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率
Pn(k)=CPk(1－P)n－k
一、選擇題：每小題5分，共60分.
1．已知為第三象限角，則所在的象限是 （ ）
A．第一或第二象限 B．第二或第三象限
C．第一或第三象限 D．第二或第四象限
2．已知過(guò)點(diǎn)A(－2，m)和B(m，4)的直線與直線2x+y-1=0平行，則m的值為 （ ）
A．0 B．－8 C．2 D．10
3．在的展開(kāi)式中的系數(shù)是 （ ）
A．－14 B．14 C．－28 D．28
4．設(shè)三棱柱ABC-A1B1C1的體積為V，P、Q分別是側(cè)棱AA1、CC1上的點(diǎn)，且PA=QC1，則四棱錐B-APQC的體積為 （ ）
A． B． C． D．
5．設(shè)，則 （ ）
A．－2<x<－1 B．－3<x<－2 C．－1<x<0 D．0<x<1
6．若，則 （ ）
A．a<b<c B．c<b<a C．c<a<b D．b<a<c
7．設(shè),且,則 （ ）
A． B． C． D．
8． = （ ）
A． B． C．1 D．
9．已知雙曲線的焦點(diǎn)為F1、F2，點(diǎn)M在雙曲線上且則點(diǎn)M到
x軸的距離為 （ ）
A． B． C． D．
10．設(shè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1、、F2，過(guò)F2作橢圓長(zhǎng)軸的垂線交橢圓于點(diǎn)P，若△F1PF2為
等腰直角三角形，則橢圓的離心率是 （ ）
A． B． C． D．
11．不共面的四個(gè)定點(diǎn)到平面的距離都相等，這樣的平面共有 （ ）
A．3個(gè) B．4個(gè) C．6個(gè) D．7個(gè)
12．計(jì)算機(jī)中常用十六進(jìn)制是逢16進(jìn)1的計(jì)數(shù)制，采用數(shù)字0～9和字母A～F共16個(gè)計(jì)數(shù)
符號(hào)，這些符號(hào)與十進(jìn)制的數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系如下表：
16進(jìn)制
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
10進(jìn)制
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
例如，用十六進(jìn)制表示：E+D=1B，則A×B= （ ）
A．6E B．72 C．5F D．B0
第Ⅱ卷
二．填空題：每小題4分，共（16分）
13．經(jīng)問(wèn)卷調(diào)查，某班學(xué)生對(duì)攝影分別執(zhí)“喜歡”、“不喜歡”和“一般”三種態(tài)度，其中執(zhí)
“一般”態(tài)度的比“不喜歡”態(tài)度的多12人，按分層抽樣方法從全班選出部分學(xué)生座
談攝影，如果選出的5位“喜歡”攝影的同學(xué)、1位“不喜歡”攝影的同學(xué)和3位執(zhí)“一
般”態(tài)度的同學(xué)，那么全班學(xué)生中“喜歡”攝影的比全班人數(shù)的一半還多 人.
14．已知向量，且A、B、C三點(diǎn)共線，則k= .
15．曲線在點(diǎn)（1，1）處的切線方程為 .
16．已知在△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，P是AB上的點(diǎn)，則點(diǎn)P到AC、BC
的距離乘積的最大值是
三.解答題：共74分.
17．(本小題滿分12分)
已知函數(shù)求使為正值的的集合.
18．(本小題滿分12分)
設(shè)甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)器是否需要照顧相互之間沒(méi)有影響。已知在某一小時(shí)內(nèi)，甲、
乙都需要照顧的概率為0.05，甲、丙都需要照顧的概率為0.1，乙、丙都需要照顧的概
率為0.125，
（Ⅰ）求甲、乙、丙每臺(tái)機(jī)器在這個(gè)小時(shí)內(nèi)需要照顧的概率分別是多少；
（Ⅱ）計(jì)算這個(gè)小時(shí)內(nèi)至少有一臺(tái)需要照顧的概率.
19．(本小題滿分12分)
在四棱錐V-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)面VAD是正三角形,平面VAD⊥底面ABCD．
（Ⅰ）證明AB⊥平面VAD；
20．(本小題滿分12分)
在等差數(shù)列中，公差的等差中項(xiàng).
已知數(shù)列成等比數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)
21． (本小題滿分12分)
用長(zhǎng)為90cm,寬為48cm的長(zhǎng)方形鐵皮做一個(gè)無(wú)蓋的容器,先在四角分別截去一個(gè)小
正方形,然后把四邊翻轉(zhuǎn)90°角,再焊接而成(如圖),問(wèn)該容器的高為多少時(shí),容器的容積最
大?最大容積是多少?
22． (本小題滿分14分)
設(shè)兩點(diǎn)在拋物線上，是AB的垂直平分線，
（Ⅰ）當(dāng)且僅當(dāng)取何值時(shí)，直線經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F？證明你的結(jié)論；
（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，求直線的方程.
2005年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試
一、DBBCA，CCBCD，BA
二、13、3，14、，15、x+y-2=0，16、12
三、解答題：
17．解：∵……………2分 ………4分
…………………………………………6分
……………………………8分
………………………………………………10分
又 ∴………………………12分
18．解：（Ⅰ）記甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)器在一小時(shí)需要照顧分別為事件A、B、C，……1分
則A、B、C相互獨(dú)立，
由題意得： P（AB）=P(A)?P(B)=0.05
P（AC）=P(A)?P(C)=0.1
P（BC）=P(B)?P(C)=0.125…………………………………………………………4分
解得：P(A)=0.2；P(B)=0.25；P(C)=0.5
所以, 甲、乙、丙每臺(tái)機(jī)器在這個(gè)小時(shí)內(nèi)需要照顧的概率分別是0.2、0.25、0.5……6分
（Ⅱ）∵A、B、C相互獨(dú)立，∴相互獨(dú)立，……………………………………7分
∴甲、乙、丙每臺(tái)機(jī)器在這個(gè)小時(shí)內(nèi)需都不需要照顧的概率為
…………………………10分
∴這個(gè)小時(shí)內(nèi)至少有一臺(tái)需要照顧的概率為
……12分
19．證明：（Ⅰ）作AD的中點(diǎn)O，則VO⊥底面
ABCD．…………………………1分
建立如圖空間直角坐標(biāo)系，并設(shè)正方形邊長(zhǎng)為1，…………………………2分
則A（，0，0），B（，1，0），C（-，1，0），D（-，0，0），V（0，0，），
∴………………………………3分
由……………………………………4分
……………………………………5分
又AB∩AV=A ∴AB⊥平面VAD…………………………………………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得是面VAD的法向量………………………………7分
設(shè)是面VDB的法向量，則
……9分
∴，……………………………………11分
又由題意知，面VAD與面VDB所成的二面角，所以其大小為…………12分
20．解：由題意得：……………1分 即…………3分
又…………4分 又成等比數(shù)列,
∴該數(shù)列的公比為，………6分 所以………8分
又……………………………………10分
所以數(shù)列的通項(xiàng)為……………………………12分
21．解：設(shè)容器的高為x，容器的體積為V，……………………………………………1分
則V=（90－2x）（48－2x）x,(0<V<24)………………………………………………5分
=4x3－276x2+4320x ∵V′=12 x2－552x+4320………………………………7分
由V′=12 x2－552x+4320=0得x1=10，x2=36
∵x<10 時(shí)，V′>0, 10<x<36時(shí)，V′<0, x>36時(shí)，V′>0,
所以,當(dāng)x=10,V有極大值V(10)=1960………………………………………10分
又V(0)=0,V(24)=0,………………………………………………………………11分
所以當(dāng)x=10,V有最大值V(10)=1960……………………………………………12分
22．解：（Ⅰ）∵拋物線，即，
∴焦點(diǎn)為………………………………………………………1分
（1）直線的斜率不存在時(shí)，顯然有………………………………3分
（2）直線的斜率存在時(shí)，設(shè)為k， 截距為b
即直線：y=kx+b 由已知得：
……………5分
……………7分
即的斜率存在時(shí)，不可能經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)……………………………………8分
所以當(dāng)且僅當(dāng)=0時(shí)，直線經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F…………………………9分
（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，
直線的斜率顯然存在，設(shè)為：y=kx+b………………………………10分
則由（Ⅰ）得：
………………………11分
…………………………………………13分
所以直線的方程為，即………………14分
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