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          試卷類(lèi)型：A
          2009年廣州市普通高中畢業(yè)班綜合測(cè)試(一)
                       
數(shù)   學(xué) (文
科)       2009.3  
          本試卷共4頁(yè)，21題，滿(mǎn)分150分�？荚囉脮r(shí)120分鐘。
          注意事項(xiàng)： 
          1. 答卷前，考生務(wù)必用2B鉛筆在“考生號(hào)”處填涂考生號(hào)。用黑色字跡鋼筆或簽字筆將自己所在的市、縣/區(qū)、學(xué)校、以及自己的姓名和考生號(hào)、試室號(hào)、座位號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。用2B將試卷類(lèi)型(A)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上。
          2．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案，答案不能答在試卷上。
          3. 非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)的相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫(xiě)上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答的答案無(wú)效。
          4. 作答選做題時(shí)，請(qǐng)先用2B鉛筆填涂選做的題號(hào)對(duì)應(yīng)的信息點(diǎn)，再作答。漏涂、錯(cuò)涂、多涂的，答案無(wú)效。
          5．考生必須保持答題卡的整潔�？荚嚱Y(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回。
           
          參考公式：
          錐體的體積V=Sh，其中S是錐體的底面積，h是錐體的高.
          如果事件A、B互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B).     
          一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，滿(mǎn)分50分．在每小題給出
          的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是符合題目要求的．
          

          試題詳情
          

          1.函數(shù)f(x)=sinxcosx的最小正周期為
          

          試題詳情
          

          A.           B.π           C. 2πw.w.w.k.s.5 u.c.o.m           D. 4π
          

          試題詳情
          

          2.已知全集U=R，集合A={x|x2－x=0}，B={x|－1<x<1}，則A∩B=
          A.{0}          B. {1}    
      C. {0，1}     
   D.φ
          

          試題詳情
          

          3.已知z=i(1+i)(i為虛數(shù)單位)，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于
          A.第一象限     B. 第二象限     C. 第三象限w.w.w.k.s.5 u.c.o.m       D. 第四象限
          

          試題詳情
          

          4.某商場(chǎng)在國(guó)慶黃金周的促銷(xiāo)活動(dòng)中，對(duì)10月2日9時(shí)至14時(shí)的銷(xiāo)售額進(jìn)
          

          試題詳情
          

          行統(tǒng)計(jì)，其頻率分布直方圖如圖1所示，已知9時(shí)至10時(shí)的銷(xiāo)售額為2.5
          

          試題詳情
          

          萬(wàn)元 ，則11時(shí)至12時(shí)的銷(xiāo)售額為     
          A. 6萬(wàn)元             B. 8萬(wàn)元       
          C. 10萬(wàn)元            D. 12萬(wàn)元
          

          試題詳情
          

          5.已知A(－1，a)、B(a，8)兩點(diǎn)的直線(xiàn)
          與直線(xiàn)2x－y+1=0平行，則a的值為
          A.－10    B. 2     C. 5     D.17 w.w.w.k.s.5 u.c.o.m
          

          試題詳情
          

          6.已知a，b∈R且a>b，則下列不等式
          中成立的是
          

          試題詳情
          

          A.      B. a2>b2       C.lg(a－b)> 0    D.    
          

          試題詳情
          

          8.如果命題“p且q”是假命題，“非p” 是真命題，
          那么
           A.命題p 一定是真命題   B.命題q 一定是真命題       
          C.命題q 一定是假命題     

          D.命題q 可以是真命題也可以是假命題  
          

          試題詳情
          

          9.已知平面內(nèi)不共線(xiàn)的四點(diǎn)0，A，B，C滿(mǎn)足
          

          試題詳情
          

          ，則
          A.1：3       B.3：1     C. 1：2       D. 2：1
          

          試題詳情
          

          10.在區(qū)間[0，1]上任意取兩個(gè)實(shí)數(shù)a，b，則函數(shù)
          

          試題詳情
          

          f(x)=x3+ax－b在區(qū)間[－1，1]上有且僅有一個(gè)
          

          試題詳情
          

          零點(diǎn)的概率為             

          

          試題詳情
          

          A.        B.        C.         D.                                                      
          

          試題詳情
          

          二、填空題：本大題共5小題，考生作答4小題，每小題5分，滿(mǎn)分20分. 
          (一) 必做題 (11～13題)
          

          試題詳情
          

          11.橢圓的離心率為     
．
          

          試題詳情
          

          12.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，對(duì)任意
          n∈N*都有Sn=2 an－1，則a1的值為 _____，
          數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=             
．
           
           
          

          試題詳情
          

          13.一個(gè)幾何體的三視圖及其尺寸(單位：cm)如圖3所示，則該幾何體的側(cè)面積為_(kāi)______cm2.
 
          

          試題詳情
          

          

          試題詳情
          

          (二)選做題 (14～15題，考生只能從中選做一題)二題在全答的，只計(jì)算第
          一題的得分.
          

          試題詳情
          

          14. (坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題) 在極坐標(biāo)系中，直線(xiàn)ρsin(θ+)=2被圓
          ρ=4截得的弦長(zhǎng)為         
.                                                                                      

          

          試題詳情
          

          15. (幾何證明選講選做題) 已知PA是圓O(O為圓心)的切線(xiàn)，切點(diǎn)為A，
          

          試題詳情
          

          PO交圓O于B，C兩點(diǎn)，AC =，∠PAB=300，則線(xiàn)段PB的長(zhǎng)為       .
          

          試題詳情
          

          三、解答題：本大題共6小題，共80分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、演算步驟或推證過(guò)程.
          16.(本小題滿(mǎn)分12分)
          

          試題詳情
          

          某校高三年級(jí)要從3名男生a、b、c和2名女生d、e中任選3名代表參加
          學(xué)校的演講比賽.
          

          試題詳情
          

          (1)求男生a被選中的概率； (2) 求男生a和女生d至少一人被選中的概率. 
           
          

          試題詳情
          

          17.(本小題滿(mǎn)分14分)
          

          試題詳情
          

          已知△ABC的內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且a=2， cosB=．
          (1)若b=4，求sinA的值； (2) 若△ABC的面積S△ABC=4，求b，c的值．
           
          

          試題詳情
          

          18.(本小題滿(mǎn)分14分) 如圖4，A1A是圓柱的母線(xiàn)，AB是圓柱底面圓的直徑， C是底面圓周上異于A，B的任意一點(diǎn)，A1A= AB=2.
          (1)求證: BC⊥平面A1AC；
          

          試題詳情
          

          (2)求三棱錐A1-ABC的體積的最大值. 
          

          試題詳情
          

           
           
           
           
           
           
           
                                      

           
           
          

          試題詳情
          

          19. (本小題滿(mǎn)分14分)
          

          試題詳情
          

          設(shè)A(x1，x2)、B(x2，y2)是拋物線(xiàn)x2=4y上不同的兩點(diǎn)，且該拋物線(xiàn)在點(diǎn)A、B處的兩條切線(xiàn)相交于點(diǎn)C，并且滿(mǎn)足.
          (1)求證：x1?x2=－4；
          (2)判斷拋物線(xiàn)x2=4y的準(zhǔn)線(xiàn)與經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)的圓的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.
           
          

          試題詳情
          

          20. (本小題滿(mǎn)分12分)
          

          試題詳情
          

          某車(chē)間有50名工人，要完成150件產(chǎn)品的生產(chǎn)任務(wù)，每件產(chǎn)品由3個(gè)A 型零件和1個(gè)B 型零件配套組成. 每個(gè)工人每小時(shí)能加工5個(gè)A 型零件或者3個(gè)B 型零件，現(xiàn)在把這些工人分成兩組同時(shí)工作(分組后人數(shù)不再進(jìn)行調(diào)整)，每組加工同一中型號(hào)的零件.設(shè)加工A 型零件的工人人數(shù)為x名(x∈N*)
          (1)設(shè)完成A 型零件加工所需時(shí)間為f(x)小時(shí)，寫(xiě)出f(x)的解析式；
          (2)為了在最短時(shí)間內(nèi)完成全部生產(chǎn)任務(wù)，x應(yīng)取何值？
           
          

          試題詳情
          

          21. (本小題滿(mǎn)分14分)
          

          試題詳情
          

          已知數(shù)列{an}的相鄰兩項(xiàng)an，an+1是關(guān)于x 的方程x2－2n x+ bn=0
(n∈N*)的兩根，且a1=1.
          

          試題詳情
          

          (1)求證：數(shù)列{ an－×2n}是等比數(shù)列；
          (2)設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和，問(wèn)是否存在常數(shù)λ，使得bn－λSn>0對(duì)任意n∈N*都成立，若存在，求出λ的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
                
          2009年廣州市普通高中畢業(yè)班綜合測(cè)試(一)
          

          試題詳情
          

          一、選擇題：本大題主要考查基本知識(shí)和基本運(yùn)算.共10小題，每小題5分，
          滿(mǎn)分50分．
          題號(hào)
          1
          2
          3
          4
          5
          6
          7
          8
          9
          10
          答案
          B
          A
          B
          C
          B
          D
          A
          D
          D
          C
          二、填空題：本大題主要考查基本知識(shí)和基本運(yùn)算. 本大題共5小題，每小
          題5分，滿(mǎn)分20分．其中14～15題為選做題，考生只能選做一題. 第十二題的第一個(gè)空2分，第二個(gè)空3分．
          11.  ；    12. 1， 2n-1；         13. 80；   14.；      15.1.
          三、解答題：本大題共6小題，共80分．解答須寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程和演算步驟.
          16.(本小題滿(mǎn)分12分)
          某校高三年級(jí)要從3名男生a、b、c和2名女生d、e中任選3名代表參加
          學(xué)校的演講比賽.
          (1)求男生a被選中的概率； (2) 求男生a和女生d至少一人被選中的概率.
          解：從3名男生a、b、c和2名女生d、e中任選3名代表選法是：
          a，b，c；a，b，d；a，b，e；a，c，d；a，c，e；a，d，e；b，c，d；
          b，c，e；b，d，e；c，d，e共10種.                   
……4分
          (1)男生a被選中的選法是：a，b，c；a，b，d；a，b，e；a，c，d；a，c，e；a，d，e，共6種，于是男生a被選中的概率為.  ……8分
          (2) 男生a和女生d至少一人被選中的選法是：a，b，c；a，b，d；a，b，e；a，c，d；a，c，e；a，d，e；b，c，d；b，d，e；c，d，e共9種，
          故男生a和女生d至少一人被選中的概率為.          
……12分                           

          17.(本小題滿(mǎn)分14分)
          已知△ABC的內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且a=2， cosB=．
          (1)若b=4，求sinA的值； (2) 若△ABC的面積S△ABC=4，求b，c的值．
           
          解：(1) ∵cosB=>0，且0<B<π，
          ∴sinB=.                             
……2分
          由正弦定理得，                         
……4分
           .                          
……6分
          (2) ∵S△ABC=acsinB=4，                            
……8分
           ∴，  ∴c=5.                     
……10分
          由余弦定理得b2=a2+c2－2accosB，
          ∴.……14分
          18.(本小題滿(mǎn)分14分) 如圖4，A1A是圓柱的母線(xiàn)，AB是圓柱底面圓的直徑， C是底面圓周上異于A，B的任意一點(diǎn)，A1A= AB=2.
          (1)求證: BC⊥平面A1AC；
          (2)求三棱錐A1-ABC的體積的最大值.
           
          證明:∵C是底面圓周上異于A，B的任意一點(diǎn)，
          且AB是圓柱底面圓的直徑，
          ∴BC⊥AC,                 
……2分
          ∵AA1⊥平面ABC，BCÌ平面ABC，
          ∴AA1⊥BC，               
……4分
          ∵AA1∩AC=A，AA1Ì平面AA1 C，
          ACÌ平面AA1 C，
                     
                ∴BC⊥平面AA1C.          
……6分
           
          (2)解法1：設(shè)AC=x，在Rt△ABC中，
          (0<x<2) ,                    
……7分
          故(0<x<2),
          ……9分
           
          即. ……11分
          ∵0<x<2，0<x2<4，∴當(dāng)x2=2，即時(shí)，
          三棱錐A1-ABC的體積的最大值為.                      
……14分
          解法2: 在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2=4，                 
……7分
                         
……9分
          .              
……11分
          當(dāng)且僅當(dāng) AC=BC 時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)AC=BC=.
          ∴三棱錐A1-ABC的體積的最大值為.                    
……14分
          19. (本小題滿(mǎn)分14分)
          設(shè)A(x1，x2)、B(x2，y2)是拋物線(xiàn)x2=4y上不同的兩點(diǎn)，且該拋物線(xiàn)在點(diǎn)A、B處的兩條切線(xiàn)相交于點(diǎn)C，并且滿(mǎn)足.
          (1)求證：x1?x2=－4；
          (2)判斷拋物線(xiàn)x2=4y的準(zhǔn)線(xiàn)與經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)的圓的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.
          (1) 證明：由x2=4y得，則，
          ∴拋物線(xiàn)x2=4y在點(diǎn)A(x1，x2)、B(x2，y2)處的切線(xiàn)的斜率分別為，
          ……2分
          ∵，∴，                           
……4分
          ∴拋物線(xiàn)x2=4y在點(diǎn)A(x1，x2)、B(x2，y2)處兩切線(xiàn)互相垂直，
          ∴，∴x1?x2=－4.                            
……6分
          (2) 解法1: ∵，∴，
          ∴經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)的圓的圓心為線(xiàn)段AB的中點(diǎn)D，
          圓心D，                    
       ……8分
          ∵拋物線(xiàn)x2=4y的準(zhǔn)線(xiàn)方程為y=－1, ∴點(diǎn)D到直線(xiàn)
          y=－1的距離為，                      
……10分
          ∵經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)的圓的半徑，
          由于x12=4y1，x22=4y2，且x1?x2=－4，則，
          ∴
          ，
          即
          ，                        
……12分
          ∴d=r，∴拋物線(xiàn)x2=4y準(zhǔn)線(xiàn)與經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)的圓相切.  ……14分
          解法2:由(1)知拋物線(xiàn)x2=4y在點(diǎn)A(x1，x2)處的切線(xiàn)的斜率為
          又x12=4y1，∴切線(xiàn)AC所在直線(xiàn)方程為，
          即                             
①      ……8分
          同理可得切線(xiàn)BC所在直線(xiàn)方程為  ②
          由①，②得點(diǎn)C的橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo)yC=－1，即
          ……10分
          ∵，∴，
          ∴經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)的圓的圓心為線(xiàn)段AB的中點(diǎn)D，
          圓心D，
          ∵拋物線(xiàn)x2=4y的準(zhǔn)線(xiàn)方程為y=－1, 
          ∴點(diǎn)D到直線(xiàn)y=－1的距離為，           
……12分                 

          ∵經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)的圓的半徑r=|CD|=，
          ∴d=r，∴拋物線(xiàn)x2=4y準(zhǔn)線(xiàn)與經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)的圓相切.  ……14分
          20. (本小題滿(mǎn)分12分)
          某車(chē)間有50名工人，要完成150件產(chǎn)品的生產(chǎn)任務(wù)，每件產(chǎn)品由3個(gè)A 型零件和1個(gè)B 型零件配套組成. 每個(gè)工人每小時(shí)能加工5個(gè)A 型零件或者3個(gè)B 型零件，現(xiàn)在把這些工人分成兩組同時(shí)工作(分組后人數(shù)不再進(jìn)行調(diào)整)，每組加工同一中型號(hào)的零件.設(shè)加工A 型零件的工人人數(shù)為x名(x∈N*)
          (1)設(shè)完成A 型零件加工所需時(shí)間為f(x)小時(shí)，寫(xiě)出f(x)的解析式；
          (2)為了在最短時(shí)間內(nèi)完成全部生產(chǎn)任務(wù)，x應(yīng)取何值？
          (本題主要考查函數(shù)最值、不等式、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用等基礎(chǔ)知識(shí)，考查分類(lèi)與整合的數(shù)學(xué)思想方法，以及運(yùn)算求解和應(yīng)用意識(shí))
          解：(1) 生產(chǎn)150件產(chǎn)品，需加工A型零件450個(gè)，則完成A型零件加工所需時(shí)間(x∈N*，且1≤x≤49).             
……2分    
          (2) 生產(chǎn)150件產(chǎn)品，需加工B型零件150個(gè)，則完成B型零件加工所需時(shí)間(x∈N*，且1≤x≤49).           
……4分設(shè)完成全部生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間h(x)小時(shí)，則h(x)為f(x)與 g(x)的較大者，
          令f(x)≥g(x)，則，解得，
          所以，當(dāng)1≤x≤32時(shí)，f(x)>g(x)；當(dāng)33≤x≤492時(shí)，f(x)<g(x).
          故                
……6分
          當(dāng)1≤x≤32時(shí)，，故h(x)在[1，32]上單調(diào)遞減，
          則h(x)在[1，32]上的最小值為(小時(shí))；       ……8分
          當(dāng)33≤x≤49時(shí)，，故h(x)在[33，49]上單調(diào)遞增，
          則h(x)在[33，49]上的最小值為(小時(shí))； ……10分
          ∵h(yuǎn)(33)> h(32)，∴h(x)在[1，49]上的最小值為h(32)， ∴x=32.
          答：為了在最短時(shí)間內(nèi)完成全部生產(chǎn)任務(wù)，x應(yīng)取32.        ……12分
          21. (本小題滿(mǎn)分14分)
          已知數(shù)列{an}的相鄰兩項(xiàng)an，an+1是關(guān)于x 的方程x2－2n x+ bn=0 (n∈N*)的兩根，且a1=1.
          (1)求證：數(shù)列{ an－×2n}是等比數(shù)列；
          (2)設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和，問(wèn)是否存在常數(shù)λ，使得bn－λSn>0對(duì)任意n∈N*都成立，若存在，求出λ的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.      
          (本題主要考查數(shù)列的通項(xiàng)公式、數(shù)列前n項(xiàng)和、不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查化歸與轉(zhuǎn)化、分類(lèi)與整合、特殊與一般的數(shù)學(xué)思想方法，以及推理論證能力、運(yùn)算求解能力和抽象概括能力)
          (1)證法1：∵an，an+1是關(guān)于x 的方程x2－2n x+ bn=0 (n∈N*)的兩根，
          ∴                                       
……2分
          由an+an+1=2n，得，故數(shù)列
          是首項(xiàng)為，公比為－1的等比數(shù)列.                
……4分
          證法2：∵an，an+1是關(guān)于x 的方程x2－2n x+ bn=0 (n∈N*)的兩根，
          ∴             
                          ……2分
          ∵，
          故數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為－1的等比數(shù)列.             

             ……4分
          (2)解：由(1)得，即，
          ∴
                                      
……6分
          ∴Sn=a1+
a2+ a3+…+ an=[(2+22+23+…+2n)－[(－1)+ (－1)2+…+(－1)n]
          ，                       
……8分
          要使得bn－λSn>0對(duì)任意n∈N*都成立，
          即對(duì)任意n∈N*都成立. 
          ①當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí)，由(*)式得，
          即，
          ∵2n+1－1>0，∴對(duì)任意正奇數(shù)n都成立.
          當(dāng)且僅當(dāng)n=1時(shí)，有最小值1，∴λ<1.         
 ……10分
          ①當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí)，由(*)式得，
          即，
          ∵2n+1－1>0，∴對(duì)任意正奇數(shù)n都成立.
          當(dāng)且僅當(dāng)n=1時(shí)，有最小值1，∴λ<1.         
 ……10分
          ②當(dāng)n為正偶數(shù)時(shí)，由(*)式得，
          即，
          ∵2n－1>0，∴對(duì)任意正偶數(shù)n都成立.
          當(dāng)且僅當(dāng)n=2時(shí)，有最小值1.5，∴λ<1.5.      ……12分
          綜上所述，存在常數(shù)λ，使得bn－λSn>0對(duì)任意n∈N*都成立，λ的取值范圍是(－∞，1).                                           
……14分
          
				
          
	
          
		
          


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