高考數(shù)學復習易做易錯題選
不等式部分
一、選擇題：
1．（如中）設
若0<a<b<c,且f(a)>f(b)>f(c),則下列結(jié)論中正確的是
A (a-1)(c-1)>0 B
ac>
錯解原因是沒有數(shù)形結(jié)合意識,正解是作出函數(shù)
的圖象,由圖可得出選D.
2．（如中）設
成立的充分不必要條件是
A 
B 
C 
D x<-1
錯解:選B,對充分不必要條件的概念理解不清,“或”與“且”概念不清，正確答案為D。
3．（如中）不等式
的解集是
A 
B 
C 
D 
錯解：選B，不等式的等價轉(zhuǎn)化出現(xiàn)錯誤，沒考慮x=-2的情形。正確答案為D。
4．（如中）某工廠第一年的產(chǎn)量為A，第二年的增長率為a,第三年的增長率為b，這兩年的平均增長率為x,則
A 
B 
C 
D 
錯解：對概念理解不清，不能靈活運用平均數(shù)的關(guān)系。正確答案為B。
5．（如中）已知
，則
A 
B 
C 
D 
錯解：對條件“”不是等價轉(zhuǎn)化，解出a,b的范圍，再求
(a+b)
(a-b),求出結(jié)果為D。
6．（石莊中學）若不等式ax
+x+a＜0的解集為 Φ，則實數(shù)a的取值范圍（ ）
A a≤-
或a≥ B a＜ C -≤a≤
D a≥
正確答案：D 錯因：學生對一元二次不等式與二次函數(shù)的圖象之間的關(guān)系還不能掌握。
7．（石莊中學）已知函數(shù)y=┯
(3x
在[-1，+∞）上是減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍（ ）
A a≤-6 B -
＜a＜
－8≤a≤-6
正確答案：C 錯因：學生忘記考慮定義域真數(shù)大于0這一隱含條件。
8．（石莊中學）已知實數(shù)x、y、z滿足x+y+z=0,xyz＞0記T=
＋
＋
,則（ ）
A T＞0 B T=
正確答案： C 錯因：學生對已知條件不能綜合考慮，判斷T的符號改為判定 xyz(＋＋)的符號。
9．（石莊中學）下列四組條件中，甲是乙的充分不必要條件的是（ ）
A． 甲 a＞b，乙
＜
B 甲 ab＜0，乙
ㄏa+bㄏ＜ㄏa－bㄏ
C
甲 a=b ，乙 a＋b=2
D 甲 
，乙 
正確答案： D 錯因：學生對不等式基本性質(zhì)成立的條件理解不深刻。
10．（石莊中學）f(x)=?2
―1｜，當a＜b＜c時有f(a)＞f(c)＞f(b)則（ ）
A
a＜0,b＜0,c＜0 B a＜0,b＞0,c＞
＜2
D 2
＜2
正確答案：D 錯因：學生不能應用數(shù)形結(jié)合的思想方法解題。
11．(磨中)a,b∈R，且a>b，則下列不等式中恒成立的是（ ）
A.a2>b2 B.( ) a <()b C.lg(a－b)>0 D.
>1
正確答案：B。
錯誤原因：容易忽視不等式成立的條件。
12．(磨中)x為實數(shù)，不等式|x－3|－|x－1|>m恒成立，則m的取值范圍是（ ）
A.m>2 B.m<
正確答案：D。
錯誤原因：容易忽視絕對值的幾何意義，用常規(guī)解法又容易出錯。
13．(磨中)已知實數(shù)x、y滿足x2+y2=1，則(1－xy)(1+xy)( )
A.有最小值，也有最大值1 B.有最小值
，也有最大值1
C.有最小值，但無最大值 D.有最大值1，但無最小值
正確答案：B 。
錯誤原因：容易忽視x、y本身的范圍。
14．(磨中)若a>b>0，且
>，則m的取值范圍是（ ）
A. m
R B.
m>0 C. m<0 D. ?b<m<0
正確答案：D 。
錯誤原因：錯用分數(shù)的性質(zhì)。
15．（城西中學）已知
，則
是
的（ ）條件
A、充分不必要 B、必要不充分 C、既不充分也不必要 D、充要
正確答案：D
錯因：不嚴格證明隨便判斷。
16．（城西中學）如果
那么
的取值范圍是（ ）
A、
B、
C、
D、
正確答案：B
錯因：利用真數(shù)大于零得x不等于60度，從而正弦值就不等于
，于是就選了D.其實x等于120度時可取得該值。故選B。
17．（一中）設
則以下不等式中不恒成立的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
正確答案：B
18．（一中）如果不等式
（a>0）的解集為{x|m≤x≤n}，且|m-n|=2a，則a的值等于（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
正確答案：B
19．（蒲中）若實數(shù)m，n，x，y滿足m2+n2=a，x2+y2=b（a≠b），則mx+ny的最大值為（ ）
A、
B、
C、
D、
答案：B
點評：易誤選A，忽略運用基本不等式“=”成立的條件。
20．（蒲中）數(shù)列{an}的通項式
，則數(shù)列{an}中的最大項是（ ）
A、第9項 B、第8項和第9項
C、第10項 D、第9項和第10項
答案：D
點評：易誤選A，運用基本不等式，求
，忽略定義域N*。
21．（丁中）.若不等式
＞
在
上有解,則的取值范圍是
（ ）
A． 
B.
C． 
D．
錯解：D
錯因：選D恒成立。
正解：C
22．（薛中）已知
是方程
的兩個實根，則
的最大值為（ ）
A、18 B、19 C、
D、不存在
答案：A
錯選：B
錯因：化簡后是關(guān)于k的二次函數(shù)，它的最值依賴于
所得的k的范圍。
23．（薛中）實數(shù)m,n,x,y滿足m2+n2=a , x2+y2=a , 則mx+ny的最大值是 。
A、
B、 C、
D、
答案：B
錯解：A
錯因：忽視基本不等式使用的條件，而用
得出錯解。
24．（案中）如果方程（x-1）(x 2-2x＋m)=0的三個根可以作為一個三角形的三條邊長，那么實數(shù)m的取值范圍是 （ ）
A、0≤m≤1
B、＜m≤1 C、≤m≤1 D、m≥
正確答案：（B）
錯誤原因：不能充分挖掘題中隱含條件。
二填空題：
1．（如中）設
，則
的最大值為
錯解：有消元意識，但沒注意到元的范圍。正解：由得：
，且
，原式=
，求出最大值為1。
2．（如中）若
恒成立，則a的最小值是
錯解：不能靈活運用平均數(shù)的關(guān)系，正解：由
，即
，故a的最小值是
。
3．（如中）已知兩正數(shù)x,y 滿足x+y=1,則z=
的最小值為
。
錯解二、
，所以z的最小值是
。
錯解分析：解一等號成立的條件是
相矛盾。解二等號成立的條件是
，與
相矛盾。
正解：z==
=
，令t=xy, 則
，由
在
上單調(diào)遞減,故當t=
時 有最小值
,所以當
時z有最小值
。
4．(磨中)若對于任意x∈R，都有(m－2)x2－2(m－2)x－4<0恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是 。
正確答案：(－2,2) 。
錯誤原因：容易忽視m＝2。
5．（城西中學）不等式ax+ bx + c＞0 ，解集區(qū)間（- ，2），對于系數(shù)a、b、c，則有如下結(jié)論：
① a ＞0 ②b＞0 ③ c＞0 ④a + b + c＞0 ⑤a ? b + c＞0，其中正確的結(jié)論的序號是________________________________.
正確答案 2 、3、 4
錯因：一元二次函數(shù)的理解
6．（一中）不等式(x－2)≥0的解集是 ．
正確答案：
7．（一中）不等式
的解集為（-∞，0），則實數(shù)a的取值范圍是_____________________。
正確答案：{-1，1}
8．（一中）若α，β，γ為奇函數(shù)f(x)的自變量，又f(x)是在（-∞，0）上的減函數(shù)，且有α+β>0，α+γ>0，β+γ>0，則f(α)+f(β)與f(-γ)的大小關(guān)系是：f(α)+f(β) ______________f(-γ)。正確答案：<
9．（蒲中）不等式|x+1|(2x－1)≥0的解集為____________
答案：
點評：誤填
而忽略x=－1。
10．（蒲中）設x>1，則y=x+
的最小值為___________
答案：
點評：誤填：4，錯因：
≥
，當且僅當
即x=2時等號成
立，忽略了運用基本不等式求最值時的“一正、二定、三相等”的條件。
11．（丁中）設實數(shù)a,b,x,y滿足a2+b2=1,x2+y2=3, 則ax+by的取值范圍為_______________.
錯解：
錯因：
，當且僅當
時等號成立，而此時
與已知條件矛盾。
正解：[－
]
12．（丁中）.－4＜k＜o是函數(shù)y=kx2－kx－1恒為負值的___________條件
錯解：充要條件
錯因：忽視
時
符合題意。
正解：充分非必要條件
13．（丁中）函數(shù)y=
的最小值為_______________
錯解：2
錯因：可化得
，而些時等號不能成立。
正解：
14．（丁中）已知a,b
，且滿足a+3b=1，則ab的最大值為___________________.
錯解：
錯因：由
得
，
，
等號成立的條件是
與已知矛盾。
正解：
15．（薛中）設函數(shù)
的定義域為R，則k的取值范圍是
。
A、
B、
C、
D、
答案：B
錯解：C
錯因：對二次函數(shù)圖象與判別式的關(guān)系認識不清，誤用
。
16．（薛中）不等式(x-2)2
(3-x) (x-4)3 (x-1) 
的解集為
。
答案：
錯解：
錯因：忽視x=2時不等式成立。
17．（薛中）已知實數(shù)x,y滿足
，則x的取值范圍是 。
答案：
錯解：
錯因：將方程作變形使用判別式，忽視隱含條件“
”。
18．（薛中）若
，且2x+8y-xy=0則x+y的范圍是
。
答案：
由原方程可得
錯解：
設
代入原方程使用判別式。
錯因：忽視隱含條件，原方程可得y (x-8)=2x，則x>8則x+y>8
19．（案中）已知實數(shù)
。
正確答案：
錯誤原因：找不到解題思路，另外變形為
時易忽視這一條件。
20．（案中）已知兩個正變量
恒成立的實數(shù)m的取值范圍是
。
正確答案：
錯誤原因：條件x+y＝4不知如何使用。
21．（案中）已知函數(shù)①
②
③
④
，其中以4為最小值的函數(shù)個數(shù)是
。
正確答案：0
錯誤原因：對使用算術(shù)平均數(shù)和幾何平均數(shù)的條件意識性不強。
22．（案中）已知
是定義在
的等調(diào)遞增函數(shù)，
且
，則不等式
的解集為
。
正確答案：
錯誤原因：不能正確轉(zhuǎn)化為不等式組。
23．（案中）已知a2+b2+c2=1, x2+y2+z2=9, 則ax+by+cz的最大值為
正確答案：3
錯誤原因：忽視使用基本不等式時等號成立的條件，易填成5。應使用如下做法：
9a2+x2≥6ax, 9b2+y2 ≥6by，9c2+z2≥6cz，
6(ax+by+cz)≤9（a2+b2+c2）+9(x2+y2+z2)
= 18, ax+by+cz≤3
三、解答題：
1．（如中）是否存在常數(shù) c，使得不等式
對任意正數(shù) x,y恒成立？
錯解：證明不等式
恒成立，故說明c存在。
正解：令x=y得
，故猜想c=
,下證不等式
恒成立。
要證不等式
，因為x,y是正數(shù)，即證3x(x+2y)+3y(2x+y)≤2（2 x+y）(x+2y),也即證
,即2xy≤
，而此不等式恒成立，同理不等式
也成立，故存在c=使原不等式恒成立。
2．（如中）已知適合不等式
的x的最大值為3，求p的值。
錯解：對此不等式無法進行等價轉(zhuǎn)化，不理解“x的最大值為3”的含義。
正解：因為x的最大值為3，故x-3<0,原不等式等價于
，
即
，則
，
設（1）（2）的根分別為
，則
若
，則9-15+p-2=0，p=8
若
，則9-9+p+2=0,p=-2
當a=-2時，原方程組無解，則p=8
3．（搬中） 設
，且
，求
的取值范圍。
解：令
則
比較系數(shù)有
即
說明：此題極易由已知二不等式求出
的范圍，然后再求
即的范圍，這種解法錯在已知二不等式中的等號成立的條件不一定相同，它們表示的區(qū)域也不一定相同，用待定系數(shù)法則容易避免上述錯誤。
4．（搬中） 若
，解關(guān)于
的不等式：
。
解：令
則
的判別式
恒成立
原不等式的解為
說明：此題容易由得出
的錯誤結(jié)論。解有關(guān)不等式的問題，一定要注意含參數(shù)的表達式的符號，否則易出錯誤。
5．（搬中） 求函數(shù)
的極大值或極小值。
解：當
時，
當且僅當
即
時，
當
時，
當且僅當
即
時，
說明：此題容易漏掉對的討論。不等式
成立的前提是
。
6．（搬中）求函數(shù)
的最大值。
解：
當且僅當
即
時，
說明：此題容易這樣做：
。但此時等號應滿足條件
，這樣的是不存在的，錯誤的原因是沒有考慮到等號成立的條件。這一點在運用重要不等式時一定要引起我們高度的重視。
7．（搬中）解不等式：
。
解：當
時，原不等式為
當
時，原不等式為
又
原不等式的解為
說明：此題易在時
處出錯，忽略了的前提。這提醒我們分段求解的結(jié)果要考慮分段的前提。
7．（搬中） 若
且
，解不等式：
解：若
，兩邊取以
為底的對數(shù)
若
，同樣有，
又
當時不等式的解為
當時不等式的解為
說明：此題易在時的解中出錯，容易忽略這個條件。解決對數(shù)問題要注意真數(shù)大于0的條件。
8．（搬中）方程
的兩根都大于2，求實數(shù)
的取值范圍。
解：設方程的兩根為
，則必有
說明：此題易犯這樣的錯誤：
且
和判別式
聯(lián)立即得的范圍
原因是
只是
的充分條件
即不能保證同時成立
9．(磨中)設函數(shù)f(x)=logb
(b>0且b≠1)，
（1）求f(x)的定義域；
（2）當b>1時，求使f(x)>0的所有x的值。
解 （1）∵x2－2x+2恒正，
∴f(x)的定義域是1+2ax>0，
即當a=0時，f(x)定義域是全體實數(shù)。
當a>0時，f(x)的定義域是（－
，+∞）
當a<0時，f(x)的定義域是（－∞，－）
（2）當b>1時，在f(x)的定義域內(nèi)，f(x)>0
>1x2－2x+2>1+2ax
x2－2(1+a)x+1>0
其判別式Δ=4(1+a)2－4=4a(a+2)
(i)當Δ<0時，即－2<a<0時
∵x2－2(1+a)x+1>0
∴f(x)>0x<－
(ii)當Δ=0時，即a=－2或0時
若a=0,f(x)＞0(x－1)2>0
x∈R且x≠1
若a=－2,f(x)＞0(x+1)2＞0
x＜
且x≠－1
(iii)當△＞0時，即a＞0或a＜－2時
方程x2－2(1+a)x+1=0的兩根為
x1=1+a－
,x2=1+a+
若a＞0，則x2＞x1＞0＞－
∴
或
若a<－2，則
∴f(x)＞0x＜1+a－或1+a+＜x＜－
綜上所述：當－2＜a＜0時，x的取值集合為
x|x＜－
當a=0時，x∈R且x≠1，x∈R，當a=－2時：x|x＜－1或－1＜x＜
當a＞0時，x∈x|x＞1+a+或－＜x＜1+a－
當a＜－2時，x∈x|x＜1+a－或1+a+＜x＜－
錯誤原因：解題時易忽視函數(shù)的定義域，不會合理分類。
10．（城西中學）設集合M＝[－1，1]，N=[－，]，f(x)=2x2+mx－1，若x∈N,m∈M,求證|f(x)|≤
證明：|f(x)|=|2x2+mx－1|= |(2x2－1)+mx|≤|(2x2－1)|+|mx|= (2x2－1)+|mx|≤(2x 2－1)+| x|
=－2（| x|－）2＋≤
錯因：不知何時使用絕對值不等式。
11．（城西中學）在邊長為a的正三角形中，點P、Q、R分別在BC、CA、AB上，且BP+CQ+AR=a,設BP=x,CQ=y,AR=z,三角形PQR的面積為s,求s的最大值及相應的x、y、z的值。
解 設ΔBPR、ΔPCR、ΔARQ的面積為s1、、s2、s3，則
S=SΔABC－S1－S2－S3=a2－[a2－（xy+xz+yz）]＝（xy+xz+yz）
由x+y+z=a,得xy+yz+zx≤,∴Smav=a2，此時，x=y=z=
錯因：不知如何使用基本不等式。
12．（蒲中）設a、b∈R，求證：
≤
證明：當|a+b|=0時，不等式已成立
當|a+b|≠0時，∵ |a+b|≤|a|+|b|
∴ =
≤
=
=
+
≤
點評：錯證：∵|a+b|≤|a|+|b|
∴ ≤
≤ ①
錯因：①的推理無根據(jù)。
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