Question

 (21分）如圖所示，將一端帶有半圓形光滑軌道的凹槽固定在水平面上，凹槽的水平部分AB粗糙且與半圓軌道平滑連接,AB長為2L。圓軌道半徑為。凹槽的右端固定一原長為L的輕質彈簧P1，P1的左端與長為L質量為2m的圓筒相接觸，但不栓接。圓筒內部右端栓接一完全相同的彈簧P2，用直徑略小于圓筒內徑、質量為m的小球將彈簧P2壓縮，再用銷釘K將小球鎖定在圓筒內（小球與P2不栓接）。球與圓筒內壁間的動摩擦因數(shù)為u，圓筒與凹槽水平部分間的動摩擦因數(shù)為2u。用圓筒將彈簧P1也壓縮•，由靜止釋放，圓筒恰好不滑動�，F(xiàn)將銷釘K突然拔掉，同時對圓筒施加一水平向左的拉力，使圓筒向左做勻加速運動，到B點時圓筒被卡住立刻停止運動，小球沿半圓形軌道從C點水平拋出。設最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，重力加速度為g，小球可視為質點，圓筒壁的厚度忽略不計。

(1) 若小球通過半圓形軌道最高點C時，軌道對小球的壓力是小球重力的3倍，求小球射出圓筒時的速度大小

(2) 若使圓筒運動到B點之前，彈簧P2長度不變，求拉力初始值的取值范圍

(3) 若拉力的初始值為，且小球從C處平拋后，恰好未撞擊圓筒，求圓筒從靜止運動到B點過程中拉力所做的功

Answer 1

（21分）解：

（1）（6分）小球過最高點時，根據(jù)向心力公式 　………….2分

小球從B點到最高點C過程中機械能守恒　 　…………….2分

…………………………….2分

（2）（10分）由于筒恰好不動，對筒和小球： ……………………2分

拔掉銷釘，設小球所允許的加速度最大值是,應有　　　

………………………2分

最小值是，應有　　　　　 　　　 ………………………2分

剛拔掉銷釘時，對筒和小球：　　　　　　 …………………2分

且

以上解得：　　　　　　　　　　　　　　　　　　 15umg≤F≤21umg　　 ……………………………2分

（3）（5分）

拉力的初始值為，所以給定初始拉力仍在上問范圍內，在運動到B點以前，彈簧P2的長度不變，設加速度為a₀，對整體：

18umg+kL/2－2u×3mg=3ma ₀ …………………………1分

到B處時，V_B²=2a₀L/2　

從C點平拋 L=V_Ct　 L/2=1/2gt²

從開始到小球運動到C點，對小球：

W₂－umgL/2－mgL/2=mVc²/2 – mV_B²/2

對筒和小球整體，從靜止開始運動到B點，由功能關系得　

WF+W₁－2u×3mg×L/2=3mV_B²/2 ……………1分

而兩彈簧相同，形變量相同，所以有W₁=W₂

聯(lián)立以上解之得　　　

…………………………1分