Question

如圖所示，在NOQ范圍內有垂直于紙面向里的勻強磁場I，在MOQ范圍內有垂直于紙面向外的勻強磁場Ⅱ，M、O、N在一條直線上，∠MOQ=60°．這兩個區(qū)域磁場的磁感應強度大小均為B．離子源中的正離子（帶電量為q，質量為m，不計重力）通過小孔O₁進入極板間電壓為U的加速電場區(qū)域（可認為初速度為零），離子經電場加速后通過小孔O₂射出，從接近O點處進入磁場區(qū)域I．離子進入磁場的速度垂直于磁場邊界MN，也垂直于磁場．
（1）當加速電場極板電壓U=U₀，求離子進入磁場中做圓周運動的半徑R；
（2）在OQ上有一點P，P點到O點距離為L，當加速電場極板電壓U₁時，離子恰好通過P點第一次進入磁場Ⅱ，求U₁的值；
（3）當加速電場極板電壓U取哪些值，才能保證離子通過P點．

Answer 1

分析：（1）離子在電場中加速時，根據動能定理求解獲得的速度．離子進入磁場后，由洛倫茲力提供向心力，離子做勻速圓周運動，由牛頓第二定律求解離子進入磁場后做圓周運動的半徑R．
（2）OQ是一條直線，離子進入磁場時速度與OQ的夾角為30°，做出運動的軌跡，由幾何知識分析得知R與L之間的關系，然后求出電壓；
（3）離子每次經過OQ一次，速度偏轉60°，沿OQ方向前進的距離等于半徑R，若離子能通過P點，則有 L=nR，即可求解加速電壓．

解答：解：（1）離子在電場中加速時，根據動能定理有：
qU0=

1

2

m

v

2 0

 離子在磁場中運動時，洛倫茲力提供向心力有：
qv0B=

m v 2 0

R

解得：R=

1

B

2mU0 q

（2）離子進入磁場時的運動軌跡如圖所示，由幾何關系可知：
R₁=L
又：qU1=

1

2

m

v

2 1

根據洛倫茲力提供向心力得：qv1B=

m v 2 1

R1

解得：U1=

qB2L2

2m

（3）要保證離子通過P點，必須有：L=nR
解得：U=

qB2L2

2mn2

，其中n=1，2，3，…
答：（1）離子進入磁場后做圓周運動的半徑為

1

B

2mU0 q

；．
（2）當加速電場極板電壓U1=

qB2L2

2m

時，離子恰好通過P點第一次進入磁場Ⅱ，
（3）當加速電場極板電壓U=

qB2L2

2mn2

，其中n=1，2，3，…取哪些值，才能保證離子通過P點．

點評：本題分析離子在磁場中運動時，關鍵要抓住離子經過OQ邊界時速度方向與邊界的夾角相等，根據周期性求解半徑，確定加速電壓．