Question

如圖所示，一質量為m的小球A用長度為l的輕繩系在O處，開始時繩處于水平伸直狀態(tài)，O處正下方有一質量為

1

4

m的物體B，物體B和C用輕質彈簧相連，放置于光滑水平面上，C的質量為

3

4

m，現(xiàn)將A由靜止釋放，A運動到最低點與B發(fā)生正碰，碰后AB分開，A運動到最高點時OA連續(xù)與豎直方向成60°角，重力加速度為g．求：
（1）球A與物體B碰前瞬間速度；
（2）球A與物體B碰后瞬間對繩子的拉力；
（3）BC兩物體在運動過程彈簧儲存的最大彈性勢能．

Answer 1

分析：（1）球A在下擺至最低位置過程中，由動能定理求解球A與物體B碰前瞬間速度；
（2）對球A在向右擺的過程，由動能定理求出碰后A的速度．根據(jù)牛頓第二定律求解球A與物體B碰后瞬間對繩子的拉力；
（3）先判斷A球與物體B碰撞后A的運動方向：根據(jù)碰撞過程遵守的動量守恒定律和系統(tǒng)的總動能不增加進行分析．并求出AB碰后B獲得的速度．當BC速度相等時，彈簧的壓縮量最大，彈性勢能最大．根據(jù)系統(tǒng)的能量守恒求解．

解答：解：（1）球A在下擺至最低位置過程中，由動能定理有：mgl=

1

2

mv

2 AO

              
得：v_AO=

2gl

                                              
（2）球A在向右擺的過程中，由動能定理有：
 mgl（1-cos60°）=

1

2

mv

2 A

                                           
設球A與物體B碰后瞬間對繩子的拉力為T，則有：
T-mg=m

v 2 A

l

                                         
得：T=2mg                                                      
（3）判斷球A球與物體B碰撞后，A的運動方向
①設A向左運動：由動量守恒定律得：
mv_AO=-mv_A+

1

4

mv_B                                       
得：v_B=4（

2

+1）

gl

                                                  
系統(tǒng)碰撞前動能為：E_ko=

1

2

m

v

2 AO

=mgl                                  
系統(tǒng)碰撞后的動能為：E_k=

1

2

m

v

2 A

+

1

2

×

1

4

m

v

2 B

=

1

2

mgl+2(

2

+1)2mgl       
所以有：E_ko＜E_k                                                     
不符合碰撞過程動能不增加的原則，所以球A碰撞后不可能向左運動．
②設A向右運動：由動量守恒定律得：
mv_AO=mv_A+

m

4

vB                                              
得：v_B=4（

2

-1）

gl

                                             
系統(tǒng)碰撞后的動能為：E_k=

1

2

m

v

2 A

+

1

2

×

1

4

m

v

2 B

=

1

2

mgl+2（

2

-1）²mgl＜E_ko      
所以球A碰撞后速度方向不變繼續(xù)向右運動．
當BC同速時，彈簧有最大的壓縮量，彈簧儲存彈性勢能有最大值，則有：

1

4

mv_B=（

1

4

m+

3

4

m）v_BC                                              
對AB系統(tǒng)由功能關系有：
E_p=

1

2

×

1

4

mv

2 B

-

1

2

（

1

4

m+

3

4

m）v_BC²                                        
聯(lián)立得：E_p=

3(3-2 2 )

2

mgl≈0.26mgl
答：（1）球A與物體B碰前瞬間速度為

2gl

；
（2）球A與物體B碰后瞬間對繩子的拉力為2mg；
（3）BC兩物體在運動過程彈簧儲存的最大彈性勢能約為0.26mgl．

點評：本題判斷A的運動方向是解題關鍵，抓住碰撞過程，動量守恒和系統(tǒng)的總動能不增加這兩個基本規(guī)律進行分析．