Question

如圖所示，質(zhì)量為M的長滑塊靜止在光滑水平面上，左側(cè)固定一勁度系數(shù)k足夠大的水平輕質(zhì)彈簧，右側(cè)用一不可伸長的細(xì)輕繩連接于豎直墻上，細(xì)繩所能承受的最大拉力為T．使一質(zhì)量為m、初速度為v₀的小物塊，在滑塊上無摩擦地向左滑動，而后壓縮彈簧．（彈簧彈性勢能的表達(dá)式Ep=

1

2

kx²，其中k為勁度系數(shù)，x為彈簧的壓縮量）
（1）給出細(xì)繩被拉斷的條件．
（2）滑塊在細(xì)繩拉斷后被加速的過程中，所能獲得的最大向左加速度為多少．
（3）試證明：物體最后離開滑塊時，相對地面不向右運(yùn)動的條件是v₀＞

T

K(m-K)

，且m＞M．

Answer 1

分析：（1）細(xì)繩恰好被拉斷時，細(xì)繩的拉力恰好等于T，根據(jù)胡克定律求出彈簧的壓縮量．在彈簧被壓縮的過程中，物塊的動能轉(zhuǎn)化為彈簧的彈性勢能，由機(jī)械能守恒求解細(xì)繩被拉斷時物塊的速度條件．
（2）滑塊在細(xì)繩拉斷后被加速的過程中，物塊做減速運(yùn)動，長滑塊做加速運(yùn)動，當(dāng)兩者速度相同時，彈簧壓縮時x最大，M獲得的加速度最大，根據(jù)系統(tǒng)動量守恒和機(jī)械能守恒求出彈簧最大壓縮量，再由牛頓第二定律求解M最大的加速度．
（3）物體最后離開滑塊時，相對地面不向右運(yùn)動，即相對地面的速度為零，根據(jù)系統(tǒng)動量守恒和機(jī)械能守恒列式，求出v₀的條件．

解答：解：（1）設(shè)細(xì)繩剛被拉斷時彈簧的壓縮量為x₀，此時有 kx₀=T
為使彈簧壓縮達(dá)到x₀，對小物塊要求是

1

2

m

v

2 0

＞

1

2

k

x

2 0

由此得到，細(xì)繩被拉斷的條件是：v0＞

T

mk

（2）繩斷時，小物體速度為v₁，則有

1

2

m

v

2 0

=

1

2

m

v

2 1

+

1

2

k

x

2 0

  
又kx₀=T
解得v1=

v 2 0 - T2 mk

  
而后M在彈力作用下由靜止開始加速，直至與m達(dá)到共同速度v₂，此時彈簧壓縮時x最大，則由動量守恒和機(jī)械能守恒得
    mv₁=（M+mv₂

1

2

m

v

2 0

=

1

2

(M+m)

v

2 2

+

1

2

kx2
此時M的加速度最大為 a=

kx

M

聯(lián)立解得a=

1

M

m M+m (kM v 2 0 +T2)

 
（3）木板與小滑塊通過彈簧作用完畢時，相對地面恰好不向右運(yùn)動時，小滑塊相對地面的速度應(yīng)為0，設(shè)此時木板的速度為V₁，并設(shè)小滑塊壓縮彈簧前的速度為v₀′，繩斷瞬間小滑塊的速度為v₁，則有     mv=MV₁

1

2

m(v0′)2=

1

2

M

V

2 1

由上解得小滑塊最后離開木板時，相對地面速度為零的條件
v₀′=

T

k(m-M)

，且m＞M
所以物體最后離開滑塊時，相對地面不向右運(yùn)動的條件是v₀＞

T

K(m-K)

，且m＞M．
答：（1）細(xì)繩被拉斷的條件件是v0＞

T

mk

．
（2）滑塊在細(xì)繩拉斷后被加速的過程中，所能獲得的最大向左加速度為得a=

1

M

m M+m (kM v 2 0 +T2)

．
（3）證明見上．

點(diǎn)評：本題是系統(tǒng)動量守恒和機(jī)械能守恒的綜合應(yīng)用，要挖掘所隱含的臨界條件：細(xì)繩被拉斷剛好被拉斷時，細(xì)繩的拉力達(dá)到最大．