Question

在豎直平面內(nèi)，以虛線為界分布著如圖所示的勻強(qiáng)電場(chǎng)和足夠大的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，各區(qū)域磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小均為B，勻強(qiáng)電場(chǎng)方向豎直向下，大小為E=

Bv0

3

；傾斜虛線與x軸之間的夾角為60°，一帶正電的C粒子從O點(diǎn)以速度v₀與y軸成30°角射入左側(cè)磁場(chǎng)，粒子經(jīng)過傾斜虛線后進(jìn)入勻強(qiáng)電場(chǎng)，恰好從圖中A點(diǎn)射入右側(cè)x軸下方磁場(chǎng)．已知帶正電粒子的電荷量為q，質(zhì)量為m（粒子重力忽略不計(jì)）．試求：
（1）帶電粒子通過傾斜虛線時(shí)的位置坐標(biāo)；
（2）粒子到達(dá)A點(diǎn)時(shí)速度的大小和方向以及勻強(qiáng)電場(chǎng)的寬度L；
（3）若在C粒子從O點(diǎn)出發(fā)的同時(shí)，一不帶電的D粒子從A點(diǎn)以速度v沿x軸正方向勻速運(yùn)動(dòng)，最終兩粒子相碰，求D粒子速度v的可能值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律可解出軌跡半徑．再由幾何知識(shí)來算出位置的坐標(biāo)；
（2）由幾何關(guān)系得知，粒子進(jìn)入勻強(qiáng)電場(chǎng)做類平拋運(yùn)動(dòng)，因此可將其運(yùn)動(dòng)分解，根據(jù)牛頓第二定律與運(yùn)動(dòng)學(xué)公式去確定到達(dá)A點(diǎn)時(shí)速度的大小和方向，再由運(yùn)動(dòng)學(xué)位移公式求出勻強(qiáng)電場(chǎng)的寬度；
（3）根據(jù)幾何知識(shí)，得出C粒子在左側(cè)磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)軌跡為

1

3

圓周，而C粒子在右側(cè)磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)軌跡可能為多個(gè)

1

4

圓弧，從而由周期公式可算出C粒子到達(dá)x軸時(shí)可能運(yùn)動(dòng)時(shí)間；再由運(yùn)動(dòng)軌跡半徑公式來確定粒子運(yùn)動(dòng)的可能距離，從而求出粒子速度的可能值．

解答：解：（1）洛倫茲力提供向心力，則有：qv0B=m

v 2 0

R

解得：R=

mv0

qB

由幾何知識(shí)，則有：x1=Rcos30°=

3

2

R=

3 mv0

2qB

                  y1=R(1+sin30°)=

3

2

R=

3mv0

2qB

所以位置坐標(biāo)為：（

3 mv0

2qB

，

3mv0

2qB

）
（2）由幾何關(guān)系可知粒子垂直電場(chǎng)線進(jìn)入勻強(qiáng)電場(chǎng)做類平拋運(yùn)動(dòng)
   牛頓第二定律，a=

qE

m

   
  運(yùn)動(dòng)學(xué)公式，vy=

2ay1

粒子到達(dá)A點(diǎn)的速度大小 v=

v 2 0 + v 2 y

=

2

v0
設(shè)速度與x軸的夾角為θ，則：tanθ=

vy

v0

=1，
解得，θ=45°
由v_y=at₁
解得：t1=

3m

qB

  x₂=v₀t₁
聯(lián)立以上各式解得：L=x1+x2=(

3

2

+3)

mv0

qB

（3）粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)周期：T=

2πm

qB

由幾何關(guān)系可知，C粒子在左側(cè)磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)軌跡為

1

3

圓周，運(yùn)動(dòng)時(shí)間t0=

1

3

T
由幾何關(guān)系可知，C粒子在右側(cè)磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)軌跡可能為多個(gè)

1

4

圓弧，
如圖，C粒子到達(dá)x軸時(shí)可能運(yùn)動(dòng)時(shí)間：t2=n×

1

4

T（n=1，2，3…）
C粒子在右側(cè)磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)軌跡半徑R1=

2 mv0

qB

D粒子在x軸與C粒子相遇距A點(diǎn)的可能距離：s=n×

2

R1（n=1、2、3…）
所以，D粒子速度v的可能值V0=

M

ρNA

=

12nv0

3πn+4π+18

（n=1，2，3…） 

答：（1）帶電粒子通過傾斜虛線時(shí)的位置坐標(biāo)為：（

3 mv0

2qB

，

3mv0

2qB

）；
（2）粒子到達(dá)A點(diǎn)時(shí)速度的大小為

2

v0和方向與x軸成45°，電強(qiáng)電場(chǎng)的寬度為(

3

2

+3)

mv0

qB

；
（3）若在C粒子從O點(diǎn)出發(fā)的同時(shí)，一不帶電的D粒子從A點(diǎn)以速度v沿x軸正方向勻速運(yùn)動(dòng)，最終兩粒子相碰，則D粒子速度v的可能值V0=

M

ρNA

=

12nv0

3πn+4π+18

（n=1，2，3…）．

點(diǎn)評(píng)：考查了僅僅由電場(chǎng)力做類平拋運(yùn)動(dòng)，還有僅僅由洛倫茲力提供向心力做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，學(xué)會(huì)如何處理類平拋運(yùn)動(dòng)及勻速圓周運(yùn)動(dòng)的問題，形成一定的解題能力．同時(shí)注意幾何知識(shí)的熟練應(yīng)用，并強(qiáng)調(diào)洛倫茲力的方向的重要性及運(yùn)動(dòng)軌跡的多樣性．