Question

如圖所示，與紙面垂直的豎直面MN的左側空間中存在豎直向上場強大小為E的勻強電場（上、下及左側無界）.一個質量為m、電量為q=mg/E的可視為質點的帶正電小球，在t=0時刻以大小為V₀的水平初速度向右通過電場中的一點P，當t=t₁時刻在電場所在空間中加上一如圖所示隨時間周期性變化的磁場，使得小球能豎直向下通過D點，D為電場中小球初速度方向上的一點，PD間距為L，D到豎直面MN的距離DQ為L/π.設磁感應強度垂直紙面向里為正.

（1）如果磁感應強度B₀為已知量，試推出滿足條件時t₁的表達式（用題中所給物理量的符號表示）

（2）若小球能始終在電場所在空間做周期性運動.則當小球運動的周期最大時，求出磁感應強度B₀及運動的最大周期T的大小.

（3）當小球運動的周期最大時，在圖中畫出小球運動一個周期的軌跡.

Answer 1

（1）L/V₀+m/qB

（2）6L/V₀

（3）

解析:

當小球進入電場時：mg=Eq將做勻速直線運動

（1）在t₁時刻加入磁場，小球在時間t₀內將做勻速圓周運動，圓周運動周期為T₀

若豎直向下通過D點，由圖甲1分析可知必有以下兩個條件：

t₀=3T₀/4

PF－PD=R  即：  V₀t₁－L=R 

qV₀B₀=mV₀²/qB₀ 

所以：V₀t₁－L=mV₀/qB₀   

t₁=L/V₀+m/qB₀

（2）小球運動的速率始終不變，當R變大時，T₀也增加，小球在電場中的運動的周期T增加，

在小球不飛出電場的情況下，當T最大時有：

 DQ=2R    L/π=2mV₀/qB₀   

B₀=2πmV₀/qL

T₀=2πR/V₀=2πm/qB₀=L/V₀

由圖分析可知小球在電場中運動的最大周期：

T=8×3T₀/4=6L/V₀

   （3）如圖