Question

（2000?上海）如圖所示．固定在水平桌面上的金屬框架cdef，處在豎直向下勻強磁場中，金屬棒ab擱在框架上，可無摩擦滑動，此時abeb構成一個邊長為L的正方形，棒的電阻為r，其余部分電阻不計，開始時磁感應強度為B₀．
（1）若從t=0時刻起，磁感應強度B均勻增加，每秒增量為k，同時保持棒靜止，求棒中的感應電流，在圖上標出感應電流的方向；
（2）在上述（1）情況中，棒始終保持靜止，當t=t₁秒時需加的垂直于水平拉力為多大？
（3）若從t=0時刻起，磁感應強度B逐漸減小，當棒以恒定速度v向右做勻速運動時，可使棒中不產生感應電流．則磁感應強度B應怎樣隨時間t變化？（寫出B與t的關系式）

Answer 1

分析：（1）由題得：磁感應強度B的變化率

△B

△t

=kT/s，根據法拉第電磁感應定律求解感應電動勢大小，再由歐姆定律求出感應電流的大小，由楞次定律判斷其方向．
（2）磁感應強度B的表達式為B=B₀+kt，由安培力公式F=BIL求出安培力，則由平衡條件得知，水平拉力與安培力大小相等．
（3）要使棒不產生感應電流，穿過回路的磁通量應保持不變，根據t=0時刻，回路中磁通量為B₀L²，t時刻磁感應強度為B，此時回路中磁通量為BL（L+vt），BL（L+vt）=B₀L² 時，則無感應電流產生．

解答：解：（1）由題得：磁感應強度B的變化率

△B

△t

=kT/s，
由法拉第電磁感應定律知：
回路中感應電動勢  E=

△Φ

△t

=

△Bs

△t

=kl2
感應電流    I=

kL2

r

根據楞次定律知感應電流方向為逆時針，即由b→a→d→e．
（2）當t=t₁時，B=B₀+kt₁
安培力大小為F_安=BIL
棒的水平拉力  F=F_安=

(B0+kt1)kL3

r

（3）為了使棒中不產生感應電流，則回路中總磁通量不變．
t=0時刻，回路中磁通量為B₀L²  
設t時刻磁感應強度為B，此時回路中磁通量為BL（L+vt））
應有  BL（L+vt）=B₀L²  
則B=

B0L

L+vt

磁感應強度隨時間的變化規(guī)律是B=

B0L

L+vt

答：
（1）棒中的感應電流大小為

kL2

r

，感應電流的方向為逆時針；
（2）棒始終保持靜止，t=t₁秒時需加的垂直于水平拉力為

(B0+kt1)kL3

r

．
（3）磁感應強度B的表達式為B=

B0L

L+vt

．

點評：本題根據法拉第電磁感應定律求解感應電動勢，由歐姆定律和安培力公式推導安培力的表達式，是常用的方法和思路．當回路中沒有感應電流產生時，回路總的磁通量應保持不變．