Question

如圖所示，質(zhì)量為m₁=3kg的光滑圓弧形軌道ABC與一質(zhì)量為m₂=1kg 的物塊P緊靠著（不粘連）靜置于光滑水平面上，B為半圓軌道的最低點(diǎn)，AC為軌道的水平直徑，軌道半徑R=0.3m．一質(zhì)量為m₃=2kg的小球（可視為質(zhì)點(diǎn)）從圓弧軌道的A處由靜止釋放，g取10m/s²，求：
（1）小球第一次滑到B點(diǎn)時(shí)的速度v₁；
（2）小球第一次經(jīng)過B點(diǎn)后，相對(duì)B能上升的最大高度h．

Answer 1

分析：（1）小球向下滑動(dòng)過程中，小球、弧形軌道ABC和物塊P組成的系統(tǒng)水平方向動(dòng)量守恒，系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，此過程中，小球和物塊P的過程相同，據(jù)此列方程可求出小球第一次滑到B點(diǎn)時(shí)的速度v₁；
（2）小球經(jīng)過B點(diǎn)后，物塊P與弧形軌道ABC分離，小球與弧形軌道水平方向動(dòng)量守恒，當(dāng)二者速度相同時(shí)，小球上升高度最大，根據(jù)動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒列方程即可求解．

解答：解：（1）小球向下滑動(dòng)過程中，以小球、弧形軌道ABC和物塊P組成的系統(tǒng)為研究對(duì)象，系統(tǒng)在水平方向不受外力，水平方向上系統(tǒng)動(dòng)量守恒．
設(shè)小球第一次滑到B點(diǎn)時(shí)的速度為v₁，軌道和P的速度為v₂，取水平向左為正方向，由水平方向動(dòng)量守恒有：
 （m₁+m₂）v₂+m₃v₁=0 ①
又由機(jī)械能守恒有：②
  m₃gR=

1

2

m₃v

2 1

+

1

2

（m₁+m₂）v₂²，
聯(lián)①②解得：v₁=-2m/s方向向右，v₂=1m/s，方向向左．
故小球第一次滑到B點(diǎn)時(shí)的速度v₁=-2m/s，方向向右．
（2）物塊經(jīng)過B點(diǎn)后，物塊P與軌道分離，小球與軌道水平方向動(dòng)量守恒，且上升到最高點(diǎn)時(shí)，與軌道共速，設(shè)為v，有：
  m₁v₂+m₃v₁=（m₁+m₃）v ③
解得：v=

m1v2+m3v1

m1+m3

=

3×1+2×(-2)

3+2

m/s=-0.2m/s 方向向右
由機(jī)械能守恒定律得：
 

1

2

m₃v

2 1

+

1

2

m₁v₂²=

1

2

（m₁+m₃）v²+m₃gh  ④
解得：h=0.27m．
答：
（1）小球第一次滑到B點(diǎn)時(shí)的速度v₁為-2m/s，方向向右．
（2）小球第一次經(jīng)過B點(diǎn)后，相對(duì)B能上升的最大高度h為0.27m．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了動(dòng)量守恒與機(jī)械能守恒的綜合應(yīng)用，是一道全面考查基礎(chǔ)知識(shí)的好題．