Question

如圖所示，在真空中的豎直平面內(nèi)，用長為2L的絕緣輕桿連接兩個質(zhì)量均為m的帶電小球A和B，A球的電荷量為+4q，B球的電荷量為-3q，組成一帶電系統(tǒng)．虛線MN與PQ平行且相距3L，開始時PQ恰為桿的中垂線．在MN與PQ間加豎直向上的勻強(qiáng)電場，恰能使帶電系統(tǒng)靜止不動．現(xiàn)使電場強(qiáng)度突然加倍（已知當(dāng)?shù)刂亓�加速度為g），求：
（1）B球剛進(jìn)入電場時的速度v₁的大�。�
（2）B球的最大位移及從開始靜止到最大位移處B球電勢能的變化量；
（3）帶電系統(tǒng)運(yùn)動的周期T．

Answer 1

分析：（1）帶電系統(tǒng)靜止時，A所受的電場力與總重力平衡，由二力平衡得出電場強(qiáng)度的表達(dá)式．電場強(qiáng)度突然加倍后，系統(tǒng)向上做勻加速直線運(yùn)動，電場力對A作正功，重力做負(fù)功，由動能定理求出B球剛進(jìn)入電場時的速度v₁的大�。�
（2）B球進(jìn)入電場后，系統(tǒng)做勻減速直線運(yùn)動，從開始到A剛運(yùn)動到MN線時，電場力對系統(tǒng)做功為2E?4q?2L-2E?3q?L=10qEL，系統(tǒng)克服重力做功為2mg?2L=8qEL，則電場力對系統(tǒng)做功大于系統(tǒng)克服重力做功，說明A到達(dá)MN線時系統(tǒng)仍有向上的速度，則A將越過MN線，根據(jù)動能定理求出B球在電場中最大位移．根據(jù)電場力對B球做的功，分析B球的電勢能的變化量．
（3）系統(tǒng)向上運(yùn)動分為三階段：第一階段勻加速運(yùn)動：從系統(tǒng)開始向上運(yùn)動到B球剛進(jìn)入電場過程，系統(tǒng)做勻加速直線運(yùn)動，由牛頓第二定律求出加速度，由初速度0和末速度v₁，由速度公式求出運(yùn)動的時間．第二階段勻減速運(yùn)動：從B球進(jìn)入電場到A剛出電場，系統(tǒng)做勻減速直線運(yùn)動，此過程通過的位移等于L，由牛頓定律求出加速度，由運(yùn)動學(xué)公式求出此過程運(yùn)動的時間；第三階段勻減速運(yùn)動：A出電場后，系統(tǒng)做勻減速直線運(yùn)動，由牛頓定律求出加速度，由運(yùn)動學(xué)公式求出此過程運(yùn)動的時間，最后求出總時間．

解答：解：
（1）設(shè)帶電系統(tǒng)靜止時電場強(qiáng)度為E，則有2mg=4qE，解得E=

mg

2q

    ①
  電場強(qiáng)度加倍后，系統(tǒng)從開始靜止到B進(jìn)入電場，根據(jù)動能定理有
    (2E×4q-2mg)L=

1

2

×2m

v

2 1

    ②
  聯(lián)立①②得B球剛進(jìn)入電場時的速度v1=

2gL

（2）設(shè)B球在電場中的最大位移為s，經(jīng)分析知A球向上越過了MN，
根據(jù)動能定理得
  對整個過程：2E?4q?2L-2E?3q?s-2mg（s+L）=0
  解得s=1.2L  
 故B球的最大位移s_總=2.2L
 電場力對B球做功W=-2E?3q?1.2L=-3.6mgL
 所以B球電勢能增加3.6mgL
（3）帶電系統(tǒng)向上運(yùn)動分為三階段：
第一階段勻加速運(yùn)動，根據(jù)牛頓第二定律有
   a1=

8qE-2mg

2m

=g，運(yùn)動時間t1=

v1

a1

=

2L g

；
第二階段勻減速運(yùn)動，同理可得a₂=

2mg+6qE-8qE

2m

=

g

2

   設(shè)A球出電場時速度為v₂，根據(jù)運(yùn)動學(xué)公式有：v₂²-v₁²=-2a₂L，
   解得v2=

gL

，t2=

v2-v1

a2

=2(

2

-1)

L g

；
第三階段勻減速運(yùn)動，a3=

2mg+6qE

2m

=

5g

2

，t3=

v2

a3

=

2

5

L g

則運(yùn)動周期T=2(t1+t2+t3)=(6

2

-

16

5

)

L g

答：（1）B球剛進(jìn)入電場時的速度v₁的大小為

2gL

；
    （2）B球的最大位移為2.2L，從開始靜止到最大位移處B球電勢能增加3.6mgL；
    （3）帶電系統(tǒng)運(yùn)動的周期T=2(t1+t2+t3)=(6

2

-

16

5

)

L g

．

點(diǎn)評：本題是電場與力學(xué)的綜合題，比較復(fù)雜，關(guān)鍵存在分析物體系統(tǒng)的受力情況，來確定運(yùn)動情況．考查綜合應(yīng)用電場知識與力學(xué)知識的能力．