Question

（2005?南通二模）如圖所示，勁度系數(shù)為k的輕彈簧，左端連著絕緣介質(zhì)小球B，右端連在固定板上，放在光滑絕緣的水平面上．整個(gè)裝置處在場(chǎng)強(qiáng)大小為E、方向水平向右的勻強(qiáng)電場(chǎng)中．現(xiàn)有一質(zhì)量為m、帶電荷量為+q的小球A，從距B球?yàn)镾處自由釋放，并與B球發(fā)生碰撞．碰撞中無(wú)機(jī)械能損失，且A球的電荷量始終不變．已知B球的質(zhì)量M=3m，彈簧振子的周期T=2π

M k

（A、B小球均可視為質(zhì)點(diǎn)）．

（1）求A球與B球第一次碰撞后瞬間，A球的速度v₁和B球的速度v₂．
（2）要使A球與B球第二次仍在B球的初始位置迎面相碰，求勁度系數(shù)k的可能取值．
（3）若A球與B球每次都在B球的初始位置迎面相碰．請(qǐng)你以A球自由釋放的瞬間為計(jì)時(shí)起點(diǎn)，速度方向向右為正方向，求作A球的v-t圖線（要求至少畫(huà)出小球A與B球發(fā)生第三次碰撞前的圖線，必須寫(xiě)出畫(huà)圖的依據(jù)）．

Answer 1

分析：（1）兩球發(fā)生彈性碰撞時(shí)滿(mǎn)足動(dòng)量守恒定律和機(jī)械能守恒定律，記住碰后兩球速度的表達(dá)式；
（2）A球碰后先向左減速再反向加速兩次時(shí)間相等，B球從碰后再回到原位置的時(shí)間具有周期性，二者相等即可求解．
（3）A球與B球的第二次碰撞過(guò)程中機(jī)械能守恒，動(dòng)量守恒，根據(jù)機(jī)械能守恒定律，動(dòng)量守恒定律列式求解碰后速度，尋找軌跡，從而畫(huà)出圖象．

解答：解：（1）設(shè)A球與B球碰撞前瞬間的速度為v₀，
由動(dòng)能定理得，qES=

1

2

mv02                         
解得：v0=

2qES m

                          
碰撞過(guò)程中動(dòng)量守恒   mv₀=mv₁+Mv₂                             
機(jī)械能無(wú)損失，有

1

2

mv02=

1

2

mv12+

1

2

Mv22                            
解得，v1=-

1

2

v₀=-

1

2

2qES m

負(fù)號(hào)表示方向向左  
v₁=v₀（舍）
v2=

1

2

v₀=

1

2

2qES m

，方向向右                v₂=0（舍）
（2）由（1）可知，碰撞后A球向左減速，B球以初速

1

2

v₀向右做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，要使m與M第二次迎面碰撞仍發(fā)生在原位置，則必有A球重新回到O處所用的時(shí)間t恰好等于B球的（n+

1

2

）T
      a=

Eq

m

                        
則t=2

v1

a

=nT+

T

2

（n=0、1、2、3 …）   
 t=2π

M k

                         
解得：k=

3π2Eq(2n+1)2

2S

（n=0、1、2、3 …） 
（3）A球與B球的第二次前速度分別為-v₁、-v₂，碰撞后速度分別為v′₁和v′₂，應(yīng)滿(mǎn)足
碰撞過(guò)程中動(dòng)量守恒-mv₁-Mv₂=mv′₁+Mv′₂                        
機(jī)械能無(wú)損失，有

1

2

mv12+

1

2

Mv22=

1

2

mv′12+

1

2

Mv′22               
解得：v′₁=2v₁=-v₀=-

2qES m

方向向左，v′₂=0                      
可見(jiàn)，當(dāng)A球再次回到O處與B球發(fā)生第三次碰撞時(shí)，第三次碰撞是第一次碰撞的重復(fù)，此后過(guò)程將周而復(fù)始地進(jìn)行，A球的v-t圖線如圖所示，


其中v0=

2qES m

，t′=

v0

a

=

2mS qE

答：（1）A球與B球第一次碰撞后瞬間，A球的速度大小為

1

2

2qES m

，方向向左，和B球的速度大小為

1

2

2qES m

方向向右；
   （2）要使A球與B球第二次仍在B球的初始位置迎面相碰，勁度系數(shù)k的可能取值為

3π2Eq(2n+1)2

2S

（n=0、1、2、3 …）．
   （3）圖象如圖所示．

點(diǎn)評(píng)：本題是綜合性很強(qiáng)的題目，運(yùn)用到動(dòng)能定理、動(dòng)量守恒、機(jī)械能守恒、運(yùn)動(dòng)學(xué)公式、牛頓定律，難點(diǎn)是抓住簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期性，得到A球運(yùn)動(dòng)時(shí)間的通項(xiàng)，即可求出K的可能值．