Question

光滑的

1

4

圓弧軌道固定在豎直平面內(nèi)，與水平軌道CE連接．水平軌道的CD段光滑、DE段粗糙．一根輕質(zhì)彈簧一端固定在C處的豎直面上，另一端與質(zhì)量為2m的物塊b剛好在D點(diǎn)接觸（不連接），彈簧處于自然長度．將質(zhì)量為m的物塊a從頂端F點(diǎn)靜止釋放后，沿圓弧軌道下滑．物塊a與物塊b第一次碰撞后一起向左壓縮彈簧．已知圓弧軌道半徑為r，

.

DE

=l，物塊a、b與DE段水平軌道的動(dòng)摩擦因數(shù)分別為μ₁=0.2和μ₂=0.4，重力加速度為g．物塊a、b均可視為質(zhì)點(diǎn)．求：
（1）物塊a第一次經(jīng)過E點(diǎn)時(shí)的速度是多少？
（2）試討論l取何值時(shí)，a、b能且只能發(fā)生一次碰撞？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)機(jī)械能守恒定律求出物塊a第一次經(jīng)過E點(diǎn)時(shí)的速度．
（2）根據(jù)動(dòng)能定理和動(dòng)量守恒定律求出a、b一起壓縮彈簧時(shí)的速度，根據(jù)物塊a到達(dá)D點(diǎn)的速度不為零，求出l的范圍，以及知道a、b只發(fā)生一次碰撞，物塊a滑上圓弧軌道又返回，最終停在水平軌道上P點(diǎn)，物塊b在水平軌道上勻減速滑至P點(diǎn)也恰好停止．結(jié)合動(dòng)能定理求出l的范圍．

解答：解：（1）物塊a由F到E過程中，由機(jī)械能守恒有：mgr=

1

2

m

v

2 1

解得第一次經(jīng)過E點(diǎn)時(shí)的速度 v1=

2gr

（2）物塊a從E滑至D過程中，由動(dòng)能定理有：-μ1mgl=

1

2

m

v

2 D1

-

1

2

m

v

2 1

解得物塊a在D點(diǎn)時(shí)的速度 v_D1=

2g(r-0.2l

)
物塊a、b在D點(diǎn)碰撞，根據(jù)動(dòng)量守恒有：mv_D1=3mv_D2
解得兩物塊在D點(diǎn)向左運(yùn)動(dòng)的速度vD2=

2g(r-0.2l)

3

a、b一起壓縮彈簧后又返回D點(diǎn)時(shí)速度大小vD3=

2g(r-0.2l)

3

由于物塊b的加速度大于物塊a的加速度，所以經(jīng)過D后，a、b兩物塊分離，同
時(shí)也與彈簧分離．
討論：①假設(shè)a在D點(diǎn)時(shí)的速度v_D1=0，即 l=5r 
要使a、b能夠發(fā)生碰撞，則l＜5r
②假設(shè)物塊a滑上圓弧軌道又返回，最終停在水平軌道上P點(diǎn)，物塊b在水平軌道上勻減速
滑至P點(diǎn)也恰好停止，設(shè)

.

PE

=x，則

.

DP

=l-x，根據(jù)能量守恒，
對(duì)a物塊     μ1mg(l+x)=

1

2

m

v

2 D3

對(duì)b物塊     μ22mg(l-x)=

1

2

2m

v

2 D3

由以上兩式解得 x=

1

3

l
將x=

1

3

l代入  μ1mg(l+x)=

1

2

m

v

2 D3

解得  l=

5

13

r
要使a、b只發(fā)生一次碰撞，則l≥

5

13

r
綜上所述，當(dāng)5r＞l≥

5

13

r時(shí)，a、b兩物塊能且只能發(fā)生一次碰撞．
答：（1）物塊a第一次經(jīng)過E點(diǎn)時(shí)的速度是v1=

2gr

．
（2）當(dāng)5r＞l≥

5

13

r時(shí)，a、b兩物塊能且只能發(fā)生一次碰撞．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了機(jī)械能守恒定律、動(dòng)量守恒定律和動(dòng)能定理，對(duì)學(xué)生能力的要求較高，對(duì)于a、b能且只能發(fā)生一次碰撞，找出臨界狀況是解決本題的關(guān)鍵，對(duì)學(xué)生而言是一難點(diǎn)．