Question

如圖所示，半徑為R的

1

4

光滑圓弧軌道豎直放置，下端恰與金屬板上表面平滑連接．金屬板置于水平地面上，板足夠長，質(zhì)量為5m，均勻帶正電q；現(xiàn)有一質(zhì)量為m的絕緣小滑塊（可視為質(zhì)點(diǎn)），由軌道頂端無初速釋放，滑過圓弧軌道后滑到金屬板上．空間存在豎直向上的勻強(qiáng)電場，場強(qiáng)E=

6mg

q

；已知滑塊與金屬板上表面、金屬板與地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)均為μ；重力加速度為g．試求：

（1）滑塊滑到圓弧軌道末端時(shí)的速度v₀；
（2）金屬板在水平地面上滑行的最終速度v；
（3）若從滑塊滑上金屬板時(shí)開始計(jì)時(shí)，電場存在的時(shí)間為t，求電場消失后，金屬板在地面上滑行的距離s與t的關(guān)系．

Answer 1

分析：（1）滑塊在圓弧軌道上滑動(dòng)過程，只有重力做功，機(jī)械能守恒，運(yùn)用機(jī)械能守恒定律求解滑塊滑到圓弧軌道末端時(shí)的速度v₀；
（2）滑塊滑上金屬板瞬間，分析金屬板的受力情況：金屬板豎直上受力 F=qE=6mg=（m+5m）g，可知板不受地面摩擦力，滑塊與金屬板組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒，即可由動(dòng)量守恒求解金屬板在水平地面上滑行的最終速度v．
（3）若從滑塊滑上金屬板時(shí)開始計(jì)時(shí)，先由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式和牛頓第二定律求出末滑塊與金屬板恰好共速所經(jīng)歷的時(shí)間，再根據(jù)時(shí)間范圍分析滑塊與金屬的運(yùn)動(dòng)情況，運(yùn)用動(dòng)能定理和牛頓第二定律、運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求解．

解答：解：（1）滑塊滑到軌道末端，有mgR=

1

2

m

v

2 0

可得，滑塊速度為 v₀=

2gR

 
（2）滑塊滑上金屬板瞬間，金屬板豎直上受力 F=qE=6mg=（m+5m）g，可知板不受地面摩擦力，滑塊與金屬板組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒．
 mv₀=（m+5m）v
可得金屬板在水平地面上滑行的最終速度為 v=

1

6

v₀=

2gR

6

（3）設(shè)ts末滑塊與金屬板恰好共速，則對(duì)滑塊，有
 v-v₀=at 
又-μmg=ma
可得運(yùn)動(dòng)時(shí)間 t=

5 2gR

6μg

①當(dāng)t≥

5 2gR

6μg

時(shí)，滑塊和金屬板一起向右勻減速運(yùn)動(dòng)至靜止，有
-μ（m+5m）gs=0-

1

2

（m+5m）v²
則可得金屬板滑行距離 s=

R

36μ

②當(dāng)0＜t＜

5 2gR

6μg

時(shí)，電場消失時(shí)，滑塊與金屬板未共速，則此時(shí)對(duì)金屬板有
 v′=

μmg

5m

t=

μg

5

t
ts后電場消失，金屬板水平方向上受力減速-μ（m+5m）g+μmg=5ma′，得：a′=-μg，
又滑塊此時(shí)速度大于板，加速度則與板相同．可知板先減速至速度為0后靜止
對(duì)金屬板，有  2a′s=0-v′²
可得金屬板滑行距離 s=

μg

50

t2
綜上所述，當(dāng)0＜t＜

5 2gR

6μg

時(shí)，電場消失后金屬板滑行距離 s=

μg

50

t2；
當(dāng)t≥

5 2gR

6μg

時(shí)，電場消失后金屬板滑行距離s=

R

36μ

答：
（1）滑塊滑到圓弧軌道末端時(shí)的速度v₀為

2gR

． 
（2）金屬板在水平地面上滑行的最終速度v為

2gR

6

；
（3）電場消失后，金屬板在地面上滑行的距離s與t的關(guān)系為當(dāng)0＜t＜

5 2gR

6μg

時(shí)，電場消失后金屬板滑行距離 s=

μg

50

t2；當(dāng)t≥

5 2gR

6μg

時(shí)，電場消失后金屬板滑行距離s=

R

36μ

．

點(diǎn)評(píng)：本題是復(fù)雜的力學(xué)綜合題，分析滑塊和金屬板的受力情況，確定出它們的運(yùn)動(dòng)情況是解題的基礎(chǔ)，再從力和能兩個(gè)角度進(jìn)行求解．