Question

如圖所示，足夠長的U型金屬框架放置在絕緣斜面上，斜面傾角30°，框架的寬度L=1.0m、質量M=1.0kg．導體棒ab垂直放在框架上，且可以無摩擦的運動．設不同質量的導體棒ab放置時，框架與斜面間的最大靜摩擦力均為F_max=7N．導體棒ab電阻R=0.02Ω，其余電阻一切不計．邊界相距d的兩個范圍足夠大的磁場Ⅰ、Ⅱ，方向相反且均垂直于金屬框架，磁感應強度均為B=0.2T．導體棒ab從靜止開始釋放沿框架向下運動，當導體棒運動到即將離開Ⅰ區(qū)域時，框架與斜面間摩擦力第一次達到最大值；導體棒ab繼續(xù)運動，當它剛剛進入Ⅱ區(qū)域時，框架與斜面間摩擦力第二次達到最大值．求：
（1）磁場Ⅰ、Ⅱ邊界間的距離d；
（2）欲使框架一直靜止不動，導體棒ab的質量應該滿足的條件．

Answer 1

分析：（1）導體棒即將離開Ⅰ時，金屬框受到的安培力沿斜面向下，框架與斜面間摩擦力第一次達到最大值，根據(jù)平衡條件求出靜摩擦力的最大值．根據(jù)安培力的表達式求出此時的速度．導體棒剛進入Ⅱ時，金屬框受到的安培力沿斜面向上，根據(jù)平衡條件求出此時金屬框受到的靜摩擦力最大值．再由安培力表達式求出此時的速度．導體棒在兩磁場邊界之間做勻加速運動，由牛頓第二定律求出加速度，根據(jù)速度位移關系公式求出d．
（2）導體棒在磁場Ⅰ中已經(jīng)達到最大速度做勻速運動時，根據(jù)平衡條件求出棒的質量的最小值．欲使金屬框架不動，導體棒剛進入Ⅱ后電流不再增大，也做勻速運動，再由平衡條件求出棒的質量的最大值．再求出導體棒ab的質量范圍．

解答：（1）導體棒即將離開Ⅰ時，金屬框受到的安培力沿斜面向下，對金屬框由平衡條件得：
f_max=Mgsin30°+F_A1max，
解得：F_A1max=2N，
導體棒受安培力：F_A1max=

B2L2v1

R

=2N，
解得：v₁=1m/s；
導體棒剛進入Ⅱ時，金屬框受到的安培力沿斜面向上，對金屬框由平衡條件得：
f_max′=F_A2max-Mgsin30°，
解得：F_A2max=12N，
導體棒受安培力：F_A2max=

B2L2v2

R

=12N，
解得：v₂=6m/s，
導體棒在兩磁場邊界之間運動時，由牛頓第二定律得：mgsin30°=ma，
解得：a=5m/s²，
磁場Ⅰ、Ⅱ邊界間的距離：d=

v22-v12

2a

=3.5m；
（2）導體棒離開Ⅰ之前，速度至少要達到：v₁=1m/s．
設此時在磁場Ⅰ中已經(jīng)達到最大速度做勻速運動，由平衡條件得：
m₁gsin30°=F_A1max，
解得：m₁=0.4kg，
欲使金屬框架不動，導體棒剛進入Ⅱ后電流不再增大，做勻速運動．由平衡條件得：
M₂gsin30°=F_A2max，
解得：m₂=2.4kg，
即導體棒的質量應為：0.4kg＜m＜2.4kg．
答：（1）磁場Ⅰ、Ⅱ邊界間的距離為3.5m；
（2）欲使框架一直靜止不動，導體棒ab的質量應該滿足的條件為：0.4kg＜m＜2.4kg．

點評：本題分析物體的受力至關重要，安培力的經(jīng)驗公式F=

B2L2v

R

經(jīng)常用到，在推導的基礎上記住，對分析導體的運動作用很大．