Question

如圖半徑為R的

1

4

圓弧支架豎直放置，支架底AB離地的距離為2R，圓弧邊緣C處有一小定滑輪，一輕繩兩端系著質(zhì)量分別為m₁與m₂的物體，掛在定滑輪兩邊，且m₁=2m₂，開始時(shí)m₁、m₂均靜止，且m₁在圖示中的最高點(diǎn)緊貼圓弧邊緣，m₁、m₂可視為質(zhì)點(diǎn)，不計(jì)一切摩擦．求：
（1）m₁釋放后經(jīng)過(guò)圓弧最低點(diǎn)A時(shí)m₁、m₂的速度大小V₁、V₂的關(guān)系
（2）若m₁到最低點(diǎn)時(shí)繩突然斷開，求m₁落地點(diǎn)離A點(diǎn)水平距離
（3）設(shè)圓弧邊緣C到地面的豎直高度為H并保持不變，

1

4

圓弧的半徑R可調(diào)，m₁到達(dá)最低點(diǎn)A時(shí)繩突然斷開，求R為多大時(shí)，小球m₁落地點(diǎn)離A點(diǎn)水平距離最遠(yuǎn)？最遠(yuǎn)距離為多少？

Answer 1

分析：（1）繩子不可伸長(zhǎng)，兩球沿著繩子方向的分速度相等；
（2）兩個(gè)滑塊構(gòu)成的系統(tǒng)只有重力勢(shì)能和動(dòng)能相互轉(zhuǎn)化，機(jī)械能守恒；求出繩斷時(shí)球A的速度，
繩子斷開后，m₁落地落地前做平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的分位移公式列式求解．
（3）結(jié)合小球m₁落地點(diǎn)離A點(diǎn)水平距離的表達(dá)式由數(shù)學(xué)知識(shí)求極值．

解答：解：（1）設(shè)m₁運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)速度為v₁，此時(shí)m₂的速度為v₂，速度分解如圖，

沿著繩子方向的速度相等，得：v₂=v₁sin45°
（2）由m₁與m₂組成系統(tǒng)，機(jī)械能守恒，有m₁gR-m₂g

2

R=

1

2

m₁v₁²+

1

2

m₂v₂²
由上述兩式求：v₁=2

(m1- 2 m2)gR 2m1+m2

斷繩后m₁做平拋運(yùn)動(dòng)
t₁=

2h g

=2

R g

s=v₁t₁
兩式聯(lián)立解得s=4R
（3）若圓弧邊緣C到地面的豎直高度為H，則A點(diǎn)離地面的高度：h=H-R
平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間：t=

2(H-R) g

則小球m₁落地點(diǎn)離A點(diǎn)水平距離x=v₁t=2

2(2- 2 )R(H-R) 5

由數(shù)學(xué)知識(shí)知當(dāng)R=H-R時(shí)，即R=

H

2

時(shí)有最大值，x_max=2H

2- 2 10

答：（1）m₁釋放后經(jīng)過(guò)圓弧最低點(diǎn)A時(shí)m₁、m₂的速度大小V₁、V₂的關(guān)系為v₂=v₁sin45°；
（2）若m₁到最低點(diǎn)時(shí)繩突然斷開，m₁落地點(diǎn)離A點(diǎn)水平距離4R；
（3）設(shè)圓弧邊緣C到地面的豎直高度為H并保持不變，

1

4

圓弧的半徑R可調(diào)，m₁到達(dá)最低點(diǎn)A時(shí)繩突然斷開，R為

H

2

時(shí)，小球m₁落地點(diǎn)離A點(diǎn)水平距離最遠(yuǎn)，最遠(yuǎn)距離為2H

2- 2 10

．

點(diǎn)評(píng)：本題關(guān)鍵是單個(gè)物體機(jī)械能不守恒，但兩個(gè)物體系統(tǒng)機(jī)械能守恒；同時(shí)要明確通過(guò)繩子、輕桿連接的物體，沿著繩子、桿子方向的分速度一定相等．