Question

如圖甲所示，CDE是固定在絕緣水平面上的光滑金屬導(dǎo)軌，CD=DE=L，∠CDE=60º，CD和DE單位長度的電阻均為r₀，導(dǎo)軌處于磁感應(yīng)強(qiáng)度為B、豎直向下的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中。MN是絕緣水平面上的一根金屬桿，其長度大于L，電阻可忽略不計(jì)。現(xiàn)MN在向右的水平拉力作用下以速度v₀在CDE上勻速滑行。MN在滑行的過程中始終與CDE接觸良好，并且與C、E所確定的直線平行。

（1）求MN滑行到C、E兩點(diǎn)時(shí)，C、D兩點(diǎn)電勢(shì)差的大��；

（2）推導(dǎo)MN在CDE上滑動(dòng)過程中，回路中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)E與時(shí)間t的關(guān)系表達(dá)式；

（3）在運(yùn)動(dòng)學(xué)中我們學(xué)過：通過物體運(yùn)動(dòng)速度和時(shí)間的關(guān)系圖線（v-t圖）可以求出物體運(yùn)動(dòng)的位移x，如圖乙中物體在0～t₀時(shí)間內(nèi)的位移在數(shù)值上等于梯形Ov₀Pt₀的面積。通過類比我們可以知道：如果畫出力與位移的關(guān)系圖線（F-x圖）也可以通過圖線求出力對(duì)物體所做的功。

請(qǐng)你推導(dǎo)MN在CDE上滑動(dòng)過程中，MN所受安培力F_安與MN的位移x的關(guān)系表達(dá)式，并用F_安與x的關(guān)系圖線求出MN在CDE上整個(gè)滑行的過程中，MN和CDE構(gòu)成的回路所產(chǎn)生的焦耳熱。

Answer 1

解：（1）MN滑行到C、E兩點(diǎn)時(shí)，在回路中的長度等于L

        此時(shí)回路中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)

                 

    由于MN的電阻忽略不計(jì)，CD和DE的電阻相等

所以C、D兩點(diǎn)電勢(shì)差的大小

                       4分

（2）設(shè)經(jīng)過時(shí)間t運(yùn)動(dòng)到如圖所示位置，

        此時(shí)桿在回路中的長度

             

    電動(dòng)勢(shì)

                                  6分

（3）在第（2）題圖示位置時(shí)，回路中的電阻

             

    回路中的電流

              

    即回路中的電流為一常量。

    此時(shí)安培力的大小

            

   由于MN在CDE上滑動(dòng)時(shí)的位移

            

   所以

            

   所以安培力的大小隨位移變化的圖線（F_安-x圖）如圖所示，

   所以MN在CDE上的整個(gè)滑行過程中，安培力所做的功

           

   根據(jù)能量的轉(zhuǎn)化和守恒定律

   回路中產(chǎn)生的焦耳熱Q等于安培力所做的功，即

                                              8分