Question

（09·安徽·24）（20分）過山車是游樂場中常見的設(shè)施。下圖是一種過山車的簡易模型，它由水平軌道和在豎直平面內(nèi)的三個圓形軌道組成，B、C、D分別是三個圓形軌道的最低點(diǎn)，B、C間距與C、D間距相等，半徑、。一個質(zhì)量為kg的小球（視為質(zhì)點(diǎn)），從軌道的左側(cè)A點(diǎn)以的初速度沿軌道向右運(yùn)動，A、B間距m。小球與水平軌道間的動摩擦因數(shù)，圓形軌道是光滑的。假設(shè)水平軌道足夠長，圓形軌道間不相互重疊。重力加速度取，計算結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位數(shù)字。

試求

（1）小球在經(jīng)過第一個圓形軌道的最高點(diǎn)時，軌道對小球作用力的大小；

（2）如果小球恰能通過第二圓形軌道，B、C間距應(yīng)是多少；

（3）在滿足（2）的條件下，如果要使小球不能脫離軌道，在第三個圓形軌道的設(shè)計中，半徑應(yīng)滿足的條件；小球最終停留點(diǎn)與起點(diǎn)的距離。

 

Answer 1

【答案】

（1）10.0N；

（2）12.5m

(3) 當(dāng)時， ；當(dāng)時，

【解析】（1）設(shè)小于經(jīng)過第一個圓軌道的最高點(diǎn)時的速度為v1根據(jù)動能定理

      ①

小球在最高點(diǎn)受到重力mg和軌道對它的作用力F，根據(jù)牛頓第二定律

              ②

由①②得                      ③

（2）設(shè)小球在第二個圓軌道的最高點(diǎn)的速度為v2，由題意

                ④

   ⑤

由④⑤得                              ⑥

（3）要保證小球不脫離軌道，可分兩種情況進(jìn)行討論：

I．軌道半徑較小時，小球恰能通過第三個圓軌道，設(shè)在最高點(diǎn)的速度為v3，應(yīng)滿足

          ⑦

          ⑧

由⑥⑦⑧得   

II．軌道半徑較大時，小球上升的最大高度為R3，根據(jù)動能定理

解得 

為了保證圓軌道不重疊，R3最大值應(yīng)滿足

解得  R3=27.9m

綜合I、II，要使小球不脫離軌道，則第三個圓軌道的半徑須滿足下面的條件

或 

當(dāng)時，小球最終焦停留點(diǎn)與起始點(diǎn)A的距離為L′，則

當(dāng)時，小球最終焦停留點(diǎn)與起始點(diǎn)A的距離為L〞，則