Question

（2013?浦東新區(qū)一模）如圖所示，水平放置的光滑絕緣桿上B點(diǎn)的正上方O點(diǎn)固定一個(gè)帶電量為Q=+6.0×10^-8C的點(diǎn)電荷，BO相距h=0.24m，B點(diǎn)左側(cè)的A點(diǎn)處套有一個(gè)帶電量為q=-5.0×10^-9C、質(zhì)量為m=2.0×10^-4kg帶電小圓環(huán)，已知∠OAB=37°．C為桿上B點(diǎn)右側(cè)的另一點(diǎn)，∠OCB=53°．
已知由點(diǎn)電荷+Q產(chǎn)生的電場(chǎng)中，距離該點(diǎn)電荷為r處的電勢(shì)為φ=k

Q

r

，其中k為靜電力恒量，k=9.0×10⁹ N?m²/C²．（sin37°=0.6，sin53°=0.8）．試問：
（1）點(diǎn)電荷Q在A、B、C三點(diǎn)產(chǎn)生的電勢(shì)φ_A、φ_B、φ_C分別多大？
（2）將帶電小圓環(huán)從A點(diǎn)由靜止釋放，它到達(dá)C點(diǎn)時(shí)速度多大？
（3）若將圓環(huán)帶電量改為qˊ=+1.0×10^-8C，并給其一個(gè)指向C點(diǎn)的初速度，則初速度v₀至少多大才能使其到達(dá)C點(diǎn)？

Answer 1

分析：（1）由數(shù)學(xué)知識(shí)得到A、B、C三點(diǎn)到Q點(diǎn)電荷的距離r，由φ=k

Q

r

求出三點(diǎn)的電勢(shì)．
（2）帶電小圓環(huán)從A點(diǎn)到C點(diǎn)的過程中，電場(chǎng)力做功qU_AC=q（φ_A-φ_C），其他力不做功，根據(jù)動(dòng)能定理求解到達(dá)C點(diǎn)時(shí)速度．
（3）圓環(huán)改為帶正電后，沿桿向右運(yùn)動(dòng)時(shí)先要克服電場(chǎng)力做功到達(dá)B點(diǎn)，然后電場(chǎng)力做正功使其到達(dá)C點(diǎn)，圓環(huán)至少要能到達(dá)B點(diǎn)，即到達(dá)B點(diǎn)時(shí)速度應(yīng)等于零，根據(jù)動(dòng)能定理研究圓環(huán)從A到B的過程，求解初速度．

解答：解：（1）根據(jù)題給公式φ=k

Q

r

，有
φA=k

Q

h sin37°

=k

Qsin37°

h

=9.0×109×

6.0×10-8×0.6

0.24

V=1350V
φB=k

Q

h

=9.0×109×

6.0×10-8

0.24

V=2250V
φC=k

Q

h sin53°

=k

Qsin53°

h

=9.0×109×

6.0×10-8×0.8

0.24

V=1800V
（2）設(shè)圓環(huán)到達(dá)C點(diǎn)時(shí)速度為v_C，根據(jù)動(dòng)能定理，有
  qUAC=

1

2

mvC2
即q(φA-φC)=

1

2

mvC2
得vC=

2q(φA-φC) m

=

2×(-5.0×10-9)(1350-1800) 2.0×10-4

m/s=0.15m/s
（3）圓環(huán)改為帶正電后，沿桿向右運(yùn)動(dòng)時(shí)先要克服電場(chǎng)力做功到達(dá)B點(diǎn)，然后電場(chǎng)力做正功使其到達(dá)C點(diǎn)，所以對(duì)圓環(huán)初速度v₀的要求是至少要能到達(dá)B點(diǎn)，即到達(dá)B點(diǎn)時(shí)速度應(yīng)等于零．
根據(jù)動(dòng)能定理，有q′UAB=0-

1

2

mv02
即q′(φB-φA)=

1

2

mv02
vB=

2q′(φB-φA) m

=

2×1.0×10-8×(2250-1350) 2.0×10-4

m/s=0.30m/s
所以初速度v₀至少為0.30m/s才能使其到達(dá)C點(diǎn)．
答：
（1）點(diǎn)電荷Q在A、B、C三點(diǎn)產(chǎn)生的電勢(shì)φ_A、φ_B、φ_C分別是1350V，2250V和1800V．
（2）將帶電小圓環(huán)從A點(diǎn)由靜止釋放，它到達(dá)C點(diǎn)時(shí)速度是0.15m/s．
（3）若將圓環(huán)帶電量改為qˊ=+1.0×10^-8C，初速度v₀至少為0.30m/s才能使其到達(dá)C點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：本題是信息題，要抓住題給的公式φ=k

Q

r

求解電勢(shì)，可確定電勢(shì)差，求出電場(chǎng)力做功．第3問，要注意分析臨界條件．