Question

（16分）如圖所示，皮帶傳動(dòng)裝置與水平面夾角為30°，輪半徑R= 2π(1) m，兩輪軸心相距L=3.75m，A、B分別使傳送帶與兩輪的切點(diǎn)，輪緣與傳送帶之間不打滑。一個(gè)質(zhì)量為0.1kg的小物塊與傳送帶間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ= 6(3) 。g取10m/s²。

（1）當(dāng)傳送帶沿逆時(shí)針?lè)较蛞?img border=0 width=17 height=25 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/wl/41/69241.gif" >=3m/s的速度勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，將小物塊無(wú)初速地放在A點(diǎn)后，它運(yùn)動(dòng)至B點(diǎn)需多長(zhǎng)時(shí)間？（計(jì)算中可取≈16，≈20）

（2）小物塊相對(duì)于傳送帶運(yùn)動(dòng)時(shí)，會(huì)在傳送帶上留下痕跡。當(dāng)傳送帶沿逆時(shí)針?lè)较騽蛩龠\(yùn)動(dòng)時(shí)，小物塊無(wú)初速地放在A點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)至B點(diǎn)飛出。要想使小物塊在傳送帶上留下的痕跡最長(zhǎng)，傳送帶勻速運(yùn)動(dòng)的速度至少多大？

Answer 1

（1）1.2s （2）12.25m/s

解析:

解：

（1）當(dāng)小物塊速度小于3m/s時(shí)，小物塊受到豎直向下、垂直傳送帶向上的支持力和沿傳送帶斜向下的摩擦力作用，做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，設(shè)加速度為a₁，根據(jù)牛頓第二定律

mgsin30° + μmgcos30°=ma₁  ①      ………………… 2分

解得 a₁ = 7.5m/s²

當(dāng)小物塊速度等于3m/s時(shí)，設(shè)小物塊對(duì)地位移為L(zhǎng)₁，用時(shí)為t₁，根據(jù)勻加速直線運(yùn)動(dòng)規(guī)律

  ②  …………………  1分

       ③…………………1分

解得 t₁ = 0.4 s   L₁ = 0.6 m

由于L₁＜L 且μ＜tan30°，當(dāng)小物塊速度大于3m/s時(shí)，小物塊將繼續(xù)做勻加速直線運(yùn)動(dòng)至B點(diǎn)，設(shè)加速度為a₂，用時(shí)為t₂，根據(jù)牛頓第二定律和勻加速直線運(yùn)動(dòng)規(guī)律

mgsin30°－μmgcos30°=ma₂   ④  …………………2分

解得  a₂ = 2.5m/s²

L－L₁ = v₁t₂ + 2(1)a₂t₂²     ⑤   …………………1分

解得 t₂ = 0.8 s

故小物塊由靜止出發(fā)從A到B所用時(shí)間為 t = t₁ + t₂ = 1.2 s    ………1分

（2）傳送帶勻速運(yùn)動(dòng)的速度越大，小物塊從A點(diǎn)到B點(diǎn)用時(shí)越短，當(dāng)傳送帶速度等于某一值v′ 時(shí)，小物塊將從A點(diǎn)一直以加速度a₁做勻加速直線運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)，所用時(shí)間最短，設(shè)用時(shí)t₀，即

L = 2(1)a₁t₀²      ⑥…………………1分

解得t₀ = 1s

傳送帶的速度繼續(xù)增大，小物塊從A到B的時(shí)間保持t₀不變，而小物塊和傳送帶之間的相對(duì)路程繼續(xù)增大，小物塊在傳送帶上留下的痕跡也繼續(xù)增大；當(dāng)痕跡長(zhǎng)度等于傳送帶周長(zhǎng)時(shí)，痕跡為最長(zhǎng)S_max。   …………………2分

設(shè)此時(shí)傳送帶速度為v₂，則

S_max = 2L + 2πR     ⑦ …………………1分

S_max = v₂t₀－L       ⑧  …………………2分

聯(lián)立⑥⑦⑧解得 v₂ = 12.25m/s   ………………… 2分