Question

如圖所示，在坐標(biāo)系xOy內(nèi)有一半徑為a的圓形區(qū)域，圓心坐標(biāo)為O₁（a，0），圓內(nèi)分布有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)．在直線y=a的上方和直線x=2a的左側(cè)區(qū)域內(nèi)，有一沿y軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，場(chǎng)強(qiáng)大小為E．一質(zhì)量為m、電荷量為+q（q＞0）的粒子以速度v從O點(diǎn)垂直于磁場(chǎng)方向且速度方向沿x軸正方向射入第一象限，粒子恰好從O₁點(diǎn)正上方的A點(diǎn)射出磁場(chǎng)，不計(jì)粒子重力．
（1）求磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大�。�
（2）求粒子從O點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)到最終離開磁場(chǎng)所通過的路程．
（3）若粒子以速度v從O點(diǎn)垂直于磁場(chǎng)方向且與x軸正方向的夾角θ=30⁰射入第一象限，求粒子從射入磁場(chǎng)到最終離開磁場(chǎng)的時(shí)間t．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)幾何關(guān)系先得到圓心、半徑，再根據(jù)洛倫茲力提供向心力列式求解；
（2）粒子離開磁場(chǎng)后，進(jìn)入電場(chǎng)，根據(jù)動(dòng)能定理列式求解粒子在電場(chǎng)中的位移；粒子進(jìn)入電場(chǎng)到達(dá)最高點(diǎn)后，又沿原路返回磁場(chǎng)，再得到第二次圓心和射出點(diǎn)，最后得到總路程；
（3）粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)，先得到第一次圓心和射出點(diǎn)，進(jìn)入電場(chǎng)后，又沿原路返回，再得到第二次圓心和射出點(diǎn)，最后得到總時(shí)間．

解答：解：（1）設(shè)粒子在磁場(chǎng)中做圓運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑為R，根據(jù)牛頓第二定律，有qvB=

mv2

R

粒子自A點(diǎn)射出，由幾何知識(shí)得：R=a
解得  B=

mv

qa

即磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小為

mv

qa

．
（2）粒子從A點(diǎn)向上在電場(chǎng)中做勻減運(yùn)動(dòng)，
設(shè)在電場(chǎng)中減速的距離為y₁
由動(dòng)能定理，得到-Eqy1=0-

1

2

mv2
解得y1=

mv2

2qE

粒子在電場(chǎng)中達(dá)到最高點(diǎn)后，在電場(chǎng)力的作用下豎直向下做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，并從A點(diǎn)再次進(jìn)入磁場(chǎng)，根據(jù)粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的電場(chǎng)線可得，粒子將從Q點(diǎn)離開磁場(chǎng)．所以粒子從O點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)到最終離開磁場(chǎng)所通過的路程為粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的兩個(gè)

1

4

圓弧與在電場(chǎng)中的兩段位移的和．如圖1所示．即：
S=2y1+2×

1

4

?2πR=

mv2

qE

+πa

（3）若粒子以速度v從O點(diǎn)垂直于磁場(chǎng)方向且與x軸正方向的夾角θ=30°射入第一象限，粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡如下圖

粒子在磁場(chǎng)中做圓運(yùn)動(dòng)的周期  T=

2πR

v

=

2πa

v

粒子從磁場(chǎng)中的P點(diǎn)射出，因磁場(chǎng)圓和粒子的軌跡圓的半徑相等，OO₁PO₂構(gòu)成菱形，故粒子從P點(diǎn)的出射方向與y軸平行，粒子由O到P所對(duì)應(yīng)的圓心角為：θ₁=60°
由幾何知識(shí)可知，粒子由P點(diǎn)到x軸的距離
s₁=a?cosθ
粒子在電場(chǎng)中做勻變速運(yùn)動(dòng)，在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間：t1=

2mv

qE

粒子由P點(diǎn)第2次進(jìn)入磁場(chǎng)，由Q點(diǎn)射出，PO₁QO₃ 構(gòu)成菱形，
由幾何知識(shí)可知Q點(diǎn)在x軸上，粒子由P到Q的偏向角為：θ₂=120°
則  θ₁+θ₂=π
粒子先后在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間：t2=

1

2

T=

πa

v

粒子在場(chǎng)區(qū)之間做勻速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間：t3=

2(a-s1)

v

解得粒子從射入磁場(chǎng)到最終離開磁場(chǎng)的時(shí)間t=t1+t2+t3=

(2+π- 3 )a

v

+

2mv

qE

故粒子從射入磁場(chǎng)到最終離開磁場(chǎng)的時(shí)間t為t=

(2+π- 3 )a

v

+

2mv

qE

．
答：（1）磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小為

mv

qa

；
（2）粒子從O點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)到最終離開磁場(chǎng)所通過的路程為S=

mv2

qE

+πa．
（3）粒子以速度v從O點(diǎn)垂直于磁場(chǎng)方向且與x軸正方向的夾角θ=30°射入第一象限，求粒子從射入磁場(chǎng)到最終離開磁場(chǎng)的時(shí)間為

(2+π- 3 )a

v

+

2mv

qE

．

點(diǎn)評(píng)：本題關(guān)鍵先確定圓心、半徑，然后根據(jù)洛倫茲力提供向心力列式求解；第三問關(guān)鍵先根據(jù)題意，分析后畫出物體的運(yùn)動(dòng)軌跡，然后再列式計(jì)算．