Question

在半徑為R₀、自轉(zhuǎn)周期為T₀的行星A表面，豎直固定一半徑為R的內(nèi)壁光滑圓形軌道，一小球在其內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，恰好能以速度v₀通過軌道最高點(diǎn)而對(duì)軌道無壓力．
（1）軌道上有一點(diǎn)P，過P點(diǎn)的半徑與豎直方向成60°角，當(dāng)小球以v₀從最高點(diǎn)沿軌道運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)時(shí)立即撤離軌道而使小球斜向上飛出，求小球飛出后離A表面的最大高度；
（2）如果空中還有一顆行星B，質(zhì)量是A的

1

3

，A、B間距離為L(zhǎng)，A、B構(gòu)成雙星系統(tǒng)，求雙星系統(tǒng)的繞行周期T．

Answer 1

分析：（1）一小球在其內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，恰好能以速度v₀通過軌道最高點(diǎn)而對(duì)軌道無壓力．根據(jù)重力提供求出重力加速度的大小，根據(jù)動(dòng)能功能定理求出小球運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)的速度，根據(jù)速度的分解求出豎直方向上的分速度，從而求出小球飛出后離A表面的最大高度．
（2）雙星系統(tǒng)的周期相等，根據(jù)萬有引力提供向心力得出雙星的軌道半徑關(guān)系，從而知道軌道半徑的大小，結(jié)合萬有引力提供向心力和萬有引力等于重力求出雙星系統(tǒng)的繞行周期．

解答：解：（1）根據(jù)mg=m

v02

R

解得g=

v02

R

．
對(duì)最高點(diǎn)到P點(diǎn)運(yùn)用動(dòng)能定理得，mg?R（1-cos60°）=

1

2

mv2-

1

2

mv02
解得v=

2gR

速度在豎直方向上的分速度vy=vcos30°=

3

2

v
則小球在P點(diǎn)上升的高度h1=

vy2

2g

=

3

4

R
所以小球飛出后離A表面的最高高度H=

3

4

R+

3

2

R=2.25R．
（2）設(shè)行星A的質(zhì)量為M，則行星B的質(zhì)量為

1

3

M．行星A的軌道半徑為r_A，行星B的軌道半徑為r_B．
有：G

M? 1 3 M

L2

=MrA(

2π

T

)2
G

M? 1 3 M

L2

=

1

3

MrB(

2π

T

)2
則rA=

1

3

rB，即rA=

1

4

L
則對(duì)A，G

M? 1 3 M

L2

=M?

1

4

L(

2π

T

)2
又GM=gR²
聯(lián)立解得T=

πL

v0R0

3RL

．
答：（1）小球飛出后離A表面的最大高度2.25R；
（2）雙星系統(tǒng)的繞行周期T為

πL

v0R0

3RL

．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合運(yùn)用了動(dòng)能定理、牛頓第二定律和萬有引力定律的知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，以及要知道雙星具有相同的周期．