Question

一質(zhì)量為m=2kg的小球從光滑斜面上高h(yuǎn)=3.5m處由靜止滑下，斜面底端緊接著一個(gè)半徑為R=1m的光滑圓環(huán)，如圖示，試求：
（1）小球滑至圓環(huán)頂點(diǎn)時(shí)對(duì)環(huán)的壓力；
（2）小球至少應(yīng)從多高處由靜止滑下才能越過(guò)圓環(huán)最高點(diǎn)；
（3）小球從h₁=2m處由靜止滑下時(shí)將在何處脫離圓環(huán)（g=10m/s²）

Answer 1

分析：動(dòng)能定理結(jié)合牛頓第二定律解出小球運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)受到的彈力，小球運(yùn)動(dòng)到圓環(huán)的最高點(diǎn)應(yīng)當(dāng)具有最小速度，即僅當(dāng)重力提供向心力時(shí)，滿足要求．

解答：解：（1）設(shè)小球滑至環(huán)頂時(shí)速度為v₁，所受環(huán)的壓力為N，選頂點(diǎn)為零勢(shì)點(diǎn)，小球運(yùn)動(dòng)過(guò)程中機(jī)械能守恒，
機(jī)械能守恒定律及圓周運(yùn)動(dòng)的知識(shí)
得：mg(h-2R)=

1

2

mv2
mg+FN=m

v2

R

，
由以上方程聯(lián)立得：F_N=40N
（2）當(dāng)圓環(huán)對(duì)小球的壓力為零時(shí)，僅由重力充當(dāng)向心力，對(duì)應(yīng)的速度v₂為越過(guò)圓環(huán)最高點(diǎn)的最小速度，對(duì)應(yīng)的高度h₁，為最低高度，
由機(jī)械能守恒定律及圓周運(yùn)動(dòng)知識(shí)
得：mg(h1-2R)=

1

2

m

v

2 2

mg=m

v 2 2

R

；
以上兩式聯(lián)立得：mg(h1-2R)=

1

2

mgR
h1=

1

2

R+2R=

5

2

R=2.5m
（3）由于h'＜h₁，故球在還沒(méi)有到達(dá)頂前即與環(huán)脫離，設(shè)脫離時(shí)圓環(huán)的位置半徑與豎直方向的夾角為θ，選軌道最低點(diǎn)為零勢(shì)點(diǎn)，
由機(jī)械能守恒定律及圓周運(yùn)動(dòng)知識(shí)：mgh′=

1

2

mv2+mg（R+Rcos）
mgcosθ=m

v2

R

兩式聯(lián)立得：cosθ=

2(h′-R)

3R

即cosθ=

2

3

；
所以θ=arccos

2

3

處小球與圓環(huán)脫離．
答：（1）小球滑至圓環(huán)頂點(diǎn)時(shí)對(duì)環(huán)的壓力為40N；
（2）小球至少應(yīng)從2.5m高處由靜止滑下才能越過(guò)圓環(huán)最高點(diǎn)；
（3）小球從h₁=2m處由靜止滑下時(shí)將在θ=arccos

2

3

處脫離圓環(huán)．

點(diǎn)評(píng)：解決這類題目的關(guān)鍵點(diǎn)是找準(zhǔn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的臨界點(diǎn)，比如，小球運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)具有最小速度．