Question

如圖所示，宇航員站在某質(zhì)量分布均勻的星球表面一斜坡上P點(diǎn)沿水平方向以初速度v₀拋出一個(gè)小球，測得小球經(jīng)時(shí)間t落到斜坡上另一點(diǎn)Q，斜面傾角為α，已知星球半徑為R，萬有引力常量為G，求：
（1）該星球表面的重力加速度g
（2）該星球的密度ρ
（3）該星球的第一宇宙速度v．

Answer 1

分析：（1）平拋運(yùn)動在水平方向上做勻速直線運(yùn)動，在豎直方向上做自由落體運(yùn)動，根據(jù)平拋運(yùn)動的規(guī)律求出星球表面的重力加速度．
（2）根據(jù)萬有引力等于重力求出星球的質(zhì)量，結(jié)合密度的公式求出星球的密度．
（3）第一宇宙速度的大小等于貼近星球表面運(yùn)行的速度．根據(jù)萬有引力提供向心力求出第一宇宙速度的大小．

解答：解：（1）物體落在斜面上有：tanα=

y

x

=

1 2 gt2

v0t

所以g=

2v0tanα

t

．
（2）根據(jù)萬有引力等于重力

GMm

R2

=mg，解得星球的質(zhì)量M=

gR2

G

．
而V=

4

3

πR3．
則密度ρ=

M

V

=

3v0tanα

2πRtG

．
（3）根據(jù)萬有引力提供向心力得，G

Mm

R2

=m

v2

R

則v=

GM R

=

gR

=

2v0Rtanα t

．
答：（1）該星球表面的重力加速度為

2v0tanα

t

．
（2）該星球的密度為

3v0tanα

2πRtG

．
（3）該星球的第一宇宙速度為

2v0Rtanα t

．

點(diǎn)評：解決本題的關(guān)鍵掌握萬有引力提供向心力和萬有引力等于重力這兩個(gè)理論，并能靈活運(yùn)用．