Question

如圖所示，間距為L(zhǎng)、半徑為R₀的內(nèi)壁光滑的

1

4

圓弧固定軌道，右端通過(guò)導(dǎo)線接有阻值為R的電阻，圓弧軌道處于豎直向上的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B．質(zhì)量為m、電阻為r、長(zhǎng)度也為L(zhǎng)的金屬棒，從與圓心等高的ab處由靜止開(kāi)始下滑，到達(dá)底端cd時(shí)，對(duì)軌道的壓力恰好等于金屬棒的重力2倍，不計(jì)導(dǎo)軌和導(dǎo)線的電阻，空氣阻力忽略不計(jì)，重力加速度為g．求：
（1）金屬棒到達(dá)底端時(shí)，電阻R兩端的電壓U多大；
（2）金屬棒從ab處由靜止開(kāi)始下滑，到達(dá)底端cd的過(guò)程中，通過(guò)電阻R的電量q；
（3）用外力將金屬棒以恒定的速率v從軌道的低端cd拉回與圓心等高的ab處的過(guò)程中，電阻R產(chǎn)生的熱量Q．

Answer 1

分析：（1）由于已知在cd位置對(duì)軌道壓力為重力的兩倍，由向心力表達(dá)式可以得到此時(shí)的速度，進(jìn)而可得此時(shí)的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)E=BLv，由歐姆定律可得電阻R兩端的電壓．
（2）金屬棒從ab處由靜止開(kāi)始下滑，到達(dá)底端cd的過(guò)程中，通過(guò)電阻的電量應(yīng)該有電流平均值來(lái)求，可先由法拉第電磁感應(yīng)定律求得此過(guò)程中產(chǎn)生的平均感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，進(jìn)而可得平均電流，通過(guò)R點(diǎn)電荷量即為q=

.

I

t．
（3）由于導(dǎo)體棒的速率是定值，金屬棒垂直于磁場(chǎng)方向的速度可表示為v_x=vcosα，金屬棒切割產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)為：E=BLv_x，可知感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)有效值為

BLv

2

，進(jìn)一步可得電流有效值，由Q=I²Rt可求產(chǎn)生的熱量．

解答：解：（1）金屬棒滑到軌道最低點(diǎn)時(shí)，由圓周運(yùn)動(dòng)：
N-mg=m

v2

R0

…①
根據(jù)題意：
N=2mg…②
金屬棒切割磁感線產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為：
E=BLv…③
金屬棒產(chǎn)生的感應(yīng)電流為：
I=

E

R+r

…④
電阻R兩端的電壓為：
U=IR…⑤
由①②③④⑤解得：
U=

BLR gR0

R+r

…⑥
（2）金屬棒從ab處由靜止開(kāi)始下滑，到達(dá)底端cd的過(guò)程中，通過(guò)電阻R的電量為：
q=

.

I

t
由歐姆定律有：

.

I

=

. E

R+r

根據(jù)法拉第電場(chǎng)感應(yīng)定律：

.

E

=N

△?

△t

=

BLR0

t

由以上三式得：
q=

BLR0

R+r

（3）金屬棒以恒定的速率v從軌道的底端cd拉回與圓心等高的ab處的過(guò)程中，金屬棒垂直于磁場(chǎng)方向的速度為：
v_x=vcosα
金屬棒切割產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)為：
E=BLv_x
感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)有效值為：
E=

BLv

2

電路中的電流有效值為：
I=

E

R+r

=

BLv

2 (R+r)

金屬棒運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為：
t=

1 4 ?2πR0

v

金屬棒產(chǎn)生的熱量為：
Q=I2Rt=(

BLv

2 (R+r)

)2?R?

1 4 ?2πR0

v

=

B2L2vπRR0

4(R+r)2

答：（1）金屬棒到達(dá)底端時(shí)，電阻R兩端的電壓為U=

BLR gR0

R+r

；
（2）金屬棒從ab處由靜止開(kāi)始下滑，到達(dá)底端cd的過(guò)程中，通過(guò)電阻R的電量為q=

BLR0

R+r

；
（3）用外力將金屬棒以恒定的速率v從軌道的低端cd拉回與圓心等高的ab處的過(guò)程中，電阻R產(chǎn)生的熱量為Q=

B2L2vπRR0

4(R+r)2

．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合性較強(qiáng)，突出的重點(diǎn)在于第3問(wèn)，要求電阻產(chǎn)生的熱量，由于做功的外力一定是變力，故無(wú)法表示其做功的多少，也就無(wú)法由能量守恒，或動(dòng)能定理等思路來(lái)做，而往往人都會(huì)朝這個(gè)思路走．這里的決定因素在于交流電有效值的應(yīng)用，這個(gè)植入應(yīng)用使得這個(gè)題稱(chēng)為難度較大的壓軸題．