Question

如圖所示，在傾角為θ的光滑斜面上，存在著兩個磁感應強度大小相等均為B的勻強磁場，方向一個垂直斜面向上，另一個垂直斜面向下，寬度都為L．一個質量為m，邊長也為L的正方形金屬線框以某一速度進入磁場時，恰好做勻速直線運動．若ab邊到達ff′與gg′之間中點位置時，線框又恰好做勻速直線運動，且設金屬線框電阻為R，則：
（1）金屬線框的ab邊開始進入磁場時，線框速度v多大？
（2）金屬線框的ab邊到達ff′與gg′之間的中點位置時，線框速度又為多大？
（3）金屬線框從開始進入磁場到ab邊到達ff′與gg′間中點位置的過程中產(chǎn)生的熱量是多少？

Answer 1

分析：（1）線框進入磁場后做勻速直線運動，則對線框受力分析，由共點力的平衡條件可得出線框的速度；
（2）線框ab邊到達ff′與gg′之間的中點位置時仍做勻速直線運動，同理由共點力的平衡條件可得出線框的速度；
（3）在運動過程中，重力勢能減小，動能增加，內能增加； 但能量守恒； 由能量的轉化及守恒關系可得出內能的增加量．

解答：解：（1）設線框剛進入磁場時速度為v，則回路中的感應電動勢為：E₁=BLv；
感應電流分別I₁=

E1

R

；
線框受到的安培力大小為F₁=

B2L2v1

R

根據(jù)平衡條件有mgsinθ-F₁=0
解得v₁=

mgsinθ

B2L2

（2）設當ab邊到達gg′與ff′間的中點位置時速度為v₂，則回路感應電動勢和感應電流分別為：
E₂=2BLv₂和I₂=

E2

R

線框受到的安培力大小為F₂=BI₂L=

4B2L2v2

R

由平衡條件mgsinθ-

4B2L2

R

v₂=0
解得v₂=

mgsin2θ

2B2L2

；
（3）設線框從剛進入磁場到ab邊到達gg′與ff′間的中點位置的過程中產(chǎn)生的熱量為Q，減小的重力勢能為mg×

3

2

Lsinθ由能量轉化守恒定律得

1

2

mv

2 1

+

3

2

mgLsinθ=

1

2

mv

2 2

+Q
解得Q=

3

2

mgLsinθ+

15

32

mv

2 1

=

3

2

mgLsinθ+

15m3g2R2sin2θ

32B4L4

答：（1）線框速度為

mgsinθ

B2L2

； （2）ab邊到達ff′與gg′之間的中點位置時，線框速度為

mgsin2θ

2B2L2

； （3）產(chǎn)生的熱量為

3

2

mgLsinθ+

15m3g2R2sin2θ

32B4L4

．

點評：導體切割磁感線運動時，要抓住受力平衡及能量的轉化及守恒的關系進行分析判斷； 在分析能量關系時一定要找出所有發(fā)生變化的能量，增加的能量一定等于減少的能量．