Question

如圖為宇宙中有一個恒星系的示意圖，A為該星系的一顆星，它繞中央恒星O運動軌道近似為圓，天文學(xué)家觀測得到A行星運動的軌道半徑為R₀，周期為T₀ 
（1）中央恒星O的質(zhì)量是多大？
（2）長期觀測發(fā)現(xiàn)，A行星實際運動的軌道與圓軌道總存在一些偏離，且周期性地每隔t₀時間發(fā)生一次最大的偏離，天文學(xué)家認為形成這種現(xiàn)象的原因可能是A行星外側(cè)還存在著一顆未知的行星B（假設(shè)其運行軌道與A在同一平面內(nèi)，且與A的繞行方向相同），它對A行星的萬有引力引起A軌道的偏離．根據(jù)上述現(xiàn)象及假設(shè)，預(yù)測未知行星B繞中央恒星O運行軌道半徑有多大？

Answer 1

分析：（1）研究行星繞恒星做勻速圓周運動，根據(jù)萬有引力提供向心力，列出等式帶有周期表達式，再根據(jù)已知量解出恒星質(zhì)量；
（2）先根據(jù)多轉(zhuǎn)動一圈時間為t₀，求出衛(wèi)星的周期；然后再根據(jù)萬有引力提供向心力解得軌道半徑．

解答：解：（1）設(shè)中央恒星質(zhì)量為M，A行星質(zhì)量為m，則根據(jù)萬有引力提供向心力有
G

Mm

R 2 0

=m(

2π

T0

)2R₀  
解得：M=

4π2R 3 0

GT 2 0

 
（2）由題意可知：A，B相距最近時，B對A的影響最大，且每隔t₀時間相距最近．設(shè)B行星周期為T_B，則有：

t0

T0

-

t0

TB

=1  
解得：TB=

T0t0

t0-T0

設(shè)B行星的質(zhì)量為m′．運動的軌道半徑為R_B，則根據(jù)萬有引力提供向心力有
G

Mm′

RB2

=m′(

2π

TB

)2RB
由以上各式可解得：R_B=R0

3	( t0 t0-T0 )2

答：（1）中央恒星O的質(zhì)量是

4π2R 3 0

GT 2 0

．
（2）未知行星B繞中央恒星O運行軌道半徑為R0

3	( t0 t0-T0 )2

．

點評：從本題可以看出，通過測量環(huán)繞天體的軌道半徑和公轉(zhuǎn)周期，可以求出中心天體的質(zhì)量．