Question

如圖所示為放置在豎直平面內(nèi)游戲滑軌的模擬裝置，滑軌由四部分粗細(xì)均勻的金屬桿組成，其中傾斜直軌AB與水平直軌CD長(zhǎng)均為L(zhǎng)＝3m，圓弧形軌道APD和BQC均光滑，BQC的半徑為r＝1m，APD的半徑為R=2m，AB、CD與兩圓弧形軌道相切，O₂A、O₁B與豎直方向的夾角均為q＝37°�，F(xiàn)有一質(zhì)量為m＝1kg的小球穿在滑軌上，以E_k0的初動(dòng)能從B點(diǎn)開(kāi)始沿AB向上運(yùn)動(dòng)，小球與兩段直軌道間的動(dòng)摩擦因數(shù)均為μ＝，設(shè)小球經(jīng)過(guò)軌道連接處均無(wú)能量損失。（g＝10m/s²，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8），求：

（1）要使小球完成一周運(yùn)動(dòng)回到B點(diǎn)，初動(dòng)能E_K0至少多大？

（2）若以題（1）中求得的最小初動(dòng)能E_K0從B點(diǎn)向上運(yùn)動(dòng)，求小球第二次到達(dá)D點(diǎn)時(shí)的動(dòng)能；

（3）若以題（1）中求得的最小初動(dòng)能E_K0從B點(diǎn)向上運(yùn)動(dòng)，求小球在CD段上運(yùn)動(dòng)的總路程。

Answer 1

解析：（1）要使小球能夠向上運(yùn)動(dòng)并回到B點(diǎn)，有兩個(gè)臨界條件的要求：一是要使小球能夠通過(guò)圓弧APD的最高點(diǎn)，二是通過(guò)了圓弧APD的最高點(diǎn)后還能夠再次到達(dá)B點(diǎn)。所以：

若要使小球能夠通過(guò)圓弧APD的最高點(diǎn)，因?yàn)樾∏蚴谴┰跅U上，所以到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)速度可以為0.由能量守恒得： 

              

（即小球在B點(diǎn)的初動(dòng)=小球增加的重力勢(shì)能+因摩擦而發(fā)的熱）

假若僅使小球恰好到達(dá)B點(diǎn)，即到達(dá)B點(diǎn)時(shí)速度恰好為0，則由能量守恒：

      

所以，要使小球能再次回到B點(diǎn)，至少需要的初動(dòng)能。

（2）當(dāng)小球在B點(diǎn)以向上運(yùn)動(dòng)，再次回到B點(diǎn)時(shí)，小球的動(dòng)能，由動(dòng)能定理：

，所以：

 

假設(shè)小球經(jīng)過(guò)B點(diǎn)后，還能沿AB上升，由動(dòng)能定理：

解得： 

在A(yíng)B桿上，由于，所以小球?qū)⒃俅蜗禄�，在A(yíng)B桿上因摩擦而發(fā)的熱：

當(dāng)小球第二次回到D點(diǎn)時(shí)，由能量守恒得：

        

所以： 

（3）小球到達(dá)D點(diǎn)后，將沿光滑的圓弧面APB上升，但到不了最高點(diǎn)，將再次滑回D點(diǎn)，且。

假若要使小球還能夠返回B點(diǎn)，則要求在D點(diǎn)時(shí)具有的動(dòng)能為：

；   

所以小球?qū)�無(wú)法再次回B點(diǎn)，而只能在光滑圓弧APD和BQC及DC間作來(lái)回往復(fù)的運(yùn)動(dòng)，最終小球?qū)⑼Ｔ贒C上，此時(shí)小滑在DC上滑過(guò)的總路程為，

由得：     

   

所以  

解析:

略