Question

【題目】如圖所示，在國慶70周年聯(lián)歡活動上有精彩的煙花表演，通過高空、中空、低空煙花燃放和特殊煙花裝置表演，分波次、多新意地展現(xiàn)煙花藝術(shù)的魅力。某同學注意到，很多煙花炸開后，形成漂亮的禮花球，一邊擴大，一邊下落。假設(shè)某種型號的禮花彈從專用炮筒中沿豎直方向射出，到達最高點時炸開。已知禮花彈從炮筒射出的速度為v0，忽略空氣阻力。

（1）求禮花彈從專用炮筒中射出后，上升的最大高度h；

（2）禮花彈在最高點炸開后，其中一小塊水平向右飛出，以最高點為坐標原點，以水平向右為x軸正方向，豎直向下為y軸正方向，建立坐標系，請通過分析說明它的運動軌跡是一條拋物線。

（3）若（2）中小塊水平向右飛出的同時，坐標系做自由落體運動，請分析說明該小塊相對于坐標原點的運動情況。

（4）假設(shè)禮花彈在最高點炸開后產(chǎn)生大量的小塊，每個小塊拋出的速度v大小相等，方向不同，有的向上減速運動，有的向下加速運動，有的做平拋運動，有的做斜拋運動。請論證說明禮花彈炸開后所產(chǎn)生的大量小塊會形成一個隨時間不斷擴大的球面。

Answer 1

【答案】（1）（2）是一條拋物線方程（3）勻速直線運動（4）具體見解析

【解析】

(1)忽略空氣阻力，禮花彈上升過程機械能守恒

得

(2)以最高點為坐標原點，以水平向右為x軸正方向，豎直向下為y軸正方向，建立坐標系，小塊平拋運動

解得

是一條拋物線方程。

(3)該小塊相對坐標原點做勻速直線運動。

(4)設(shè)某小塊的拋出速度為v，與水平方向夾角為θ，將v沿水平方向（x軸）和豎直方向（y軸，向下為正方向）正交分解。由拋體運動的研究可知質(zhì)點的位置坐標為

x＝vcos θ ·t

y＝v sin θ ·t+gt2

聯(lián)立以上兩式，消去θ即得

x2＋(y－gt2)2＝ (vt)2

這是一個以（0，gt2）坐標為圓心、以vt為半徑的圓的方程式。可見，只要初速度v相同，無論初速度方向怎樣，各發(fā)光質(zhì)點均落在一個圓上（在空間形成一個球面，其球心在不斷下降，“禮花”球一面擴大，一面下落），如圖所示。

本題也可用運動合成和分解的知識解釋如下：禮花炮爆炸后，每個發(fā)光質(zhì)點的拋出速度v大小相同，方向各異，都可以分解為沿原速度方向的勻速直線運動和只在重力作用下的自由落體運動（這里忽略空氣阻力，如果受到空氣阻力或風的影響，那么，“禮花”就不會形成球面形狀了）。很明顯，前一分運動使各發(fā)光質(zhì)點時刻構(gòu)成一個圓，后一個分運動都相同，所以觀察者看到的是一個五彩繽紛的“禮花”球一面擴大、一面下落。