Question

如圖所示，質量為M=0.60Kg的小沙箱，被長為L=1.60m的細繩懸于空中某點，現(xiàn)從左向右用槍以v₀=10m/s的速度向沙箱發(fā)射質量m=0.20Kg的子彈，假設沙箱每次在最低點時，就恰好有一顆子彈射入沙箱，并留在其中．（g=10m/s²，不計空氣阻力，子彈與沙箱相互作用時間極短）則：
①第一顆子彈射入沙箱后，沙箱能否做完整的圓周運動？計算并說明理由．
②第二顆、三顆子彈射入沙箱并相對沙箱靜止時，沙箱的速度分別為多大？

Answer 1

分析：①沙箱要能做完整的圓周運動，到達最高點的速度最小為v=

gR

，由重力恰好提供向心力求得v．根據(jù)機械能守恒，求出沙箱在最低點的最小速度．根據(jù)子彈射入沙箱的過程系統(tǒng)的動量守恒，列式求出第一顆子彈射入沙箱后共同速度，與最低點最小速度比較，即可判斷沙箱能否做完整的圓周運動．
②根據(jù)動量守恒定律列方程，求解第二顆、三顆子彈射入沙箱并相對沙箱靜止時沙箱的速度．

解答：解：①第一顆子彈射入沙箱過程，根據(jù)動量守恒得：
  mv₀=（M+m）v₁
∴v₁=

mv0

M+m

=

0.2×10

0.8+0.2

=2m/s；
若沙箱能做完整的圓周運動，設在最高點的速度應為v，則由
  （M+m）g=（M+m）

v2

R

得 v=

gR

=

10×1.6

m/s=4m/s；
設在最低點的速度為v′，則根據(jù)機械能守恒得：
  （M+m）g?2L+

1

2

(M+m)v2=

1

2

(M+m)v′2
則得，v′=

v2+4gL

=

42+2×10×1.6

m/s=4

3

m/s
 而v₁＜v′，所以不能作完整的圓周運動．
②第二顆子彈射入，設向右為正，由動量守恒得：
  mv₀-（M+m）v₁=（M+2m）v₂
∴v₂=

mv0-(M+m)v1

M+2m

=

0.2×10-(0.8+0.2)×2

0.8+2×0.2

=0
第三顆子彈射入，則有：
  mv₀=（M+3m）v₃
∴v₃=

mv0

M+3m

=

0.2×10

0.8+3×0.2

m/s=1.67m/s；
答：
①第一顆子彈射入沙箱后，沙箱不能做完整的圓周運動．
②第二顆、三顆子彈射入沙箱并相對沙箱靜止時，沙箱的速度分別為0和1.67m/s．

點評：本題動量守恒與圓周運動的臨界條件、機械能守恒的綜合，采用歸納法分析是關鍵．