Question

（2010?永州一模）如圖所示，在水平的光滑平板上的O點(diǎn)固定一根原長(zhǎng)為l₀的勁度系數(shù)為k的輕彈簧，在彈簧的自由端連接一個(gè)質(zhì)量為m的小球（可視為質(zhì)點(diǎn)）．若彈簧始終處在彈性范圍內(nèi)，今將平板以O(shè)為轉(zhuǎn)軸在豎直平面內(nèi)逆時(shí)針緩慢轉(zhuǎn)動(dòng)，直至平板變?yōu)樨Q直狀態(tài)，則在此過(guò)程中（　�。�

A．球的高度不斷增大

B．若彈簧的長(zhǎng)度l₀一定，則球的質(zhì)量m足夠大時(shí)，總能使球的高度先增大后減小

C．若球的質(zhì)量m一定，則彈簧的長(zhǎng)度l₀足夠小時(shí)，總能使球的高度先增大后減小

D．球的高度變化情況僅與球的質(zhì)量m有關(guān)，而與彈簧的原長(zhǎng)l₀無(wú)關(guān)

Answer 1

分析：將平板以O(shè)為轉(zhuǎn)軸在豎直平面內(nèi)逆時(shí)針緩慢轉(zhuǎn)動(dòng)，直至平板變?yōu)樨Q直狀態(tài)，小球始終處于平衡狀態(tài)，抓住小球重力沿斜面方向上的分力與彈簧彈力大小相等，得出形變量的變化，從而得出高度的關(guān)系式，通過(guò)關(guān)系式判斷高度的變化．

解答：解：設(shè)轉(zhuǎn)過(guò)的角度為θ，則mgsinθ=kx，則彈簧的形變量x=

mgsinθ

k

．
球的高度h=（l₀-x）sinθ=(l0-

mgsinθ

k

)sinθ=-

mg

k

(sinθ-

kl0

2mg

)2+

kl02

4mg

．因?yàn)閟inθ＜1．
所以當(dāng)彈簧的長(zhǎng)度l₀一定，則球的質(zhì)量m足夠大時(shí)，

kl0

2mg

＜1，則h先增大后減�。�
當(dāng)球的質(zhì)量m一定，則彈簧的長(zhǎng)度l₀足夠小時(shí)，

kl0

2mg

＜1，則h先增大后減小．故B、C正確，A、D錯(cuò)誤．
故選BC．

點(diǎn)評(píng)：本題對(duì)數(shù)學(xué)能力的要求較高，通過(guò)二次函數(shù)的方法并對(duì)sinθ的討論得出高度的變化．