Question

如圖裝置，AB段為傾角為37°的粗糙斜面，動(dòng)摩擦因數(shù)μ₁為0.25，BC、CE段光滑，CD為一光滑的圓形軌道，半徑R=0.32m，物體在C點(diǎn)能順利進(jìn)出圓形軌道而不損失機(jī)械能．EF為一逆時(shí)針勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的足夠長(zhǎng)的傳送帶，動(dòng)摩擦因數(shù)μ₂為0.2．現(xiàn)從AB面上距地面H處輕輕放上一質(zhì)量m=1kg的小物塊（視為質(zhì)點(diǎn)）．物塊經(jīng)過(guò)CD軌道后滑向傳送帶．取g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8．
（1）現(xiàn)將物體從H=2.7m處釋放，求①第一次經(jīng)過(guò)B點(diǎn)時(shí)的速度大小，②第一次經(jīng)過(guò)D點(diǎn)時(shí)軌道對(duì)物塊的壓力大�。�
（2）若傳送帶的速度為V=5m/s．物體仍從H=2.7m處釋放，試計(jì)算說(shuō)明物體能否兩次通過(guò)最高點(diǎn)D？若能通過(guò)，請(qǐng)計(jì)算第二次通過(guò)最高點(diǎn)D點(diǎn)時(shí)軌道對(duì)物塊的壓力大�。�
（3）若傳送帶速度大小可在釋放物塊前預(yù)先調(diào)節(jié)．將物體從H=2.7m處釋放，從釋放到第二次進(jìn)入圓軌道過(guò)程的過(guò)程中，試分析物塊和各接觸面摩擦至少要產(chǎn)生多少熱量才能保證物體能夠兩次到達(dá)D點(diǎn)？
（4）現(xiàn)將傳送帶速度調(diào)節(jié)至一足夠大速度值，將物體從AB某處釋放后，第10次進(jìn)入圓軌道時(shí)仍不脫離圓軌道，試分析釋放物塊的高度有何要求？

Answer 1

分析：（1）物體由H處下落到達(dá)B端，由動(dòng)能定理求解第一次經(jīng)過(guò)B點(diǎn)時(shí)的速度大小．運(yùn)用動(dòng)能定理求出物體到達(dá)D點(diǎn)時(shí)速度，由牛頓第二定律求解軌道對(duì)物塊的壓力大�。�
（2）由動(dòng)能定理求出物體若能通過(guò)D點(diǎn)在水平面處的最小速度．物體運(yùn)動(dòng)到由E運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)，運(yùn)用動(dòng)能定理求出物體通過(guò)D點(diǎn)的速度，再由牛頓第二定律求解第二次通過(guò)最高點(diǎn)D點(diǎn)時(shí)軌道對(duì)物塊的壓力．
（3）畫出物體滑上傳送帶后的速度圖象，求出物體相對(duì)傳送帶的位移，即可求得熱量．
（4）分上升和下滑兩個(gè)過(guò)程，由動(dòng)能定理分析每次滑上滑下斜面后，動(dòng)能變?yōu)樵瓉?lái)多少倍，求出第十次滑上D點(diǎn)時(shí)，從經(jīng)過(guò)EC滑上圓軌道的速度最小值．再運(yùn)用動(dòng)能定理和臨界速度結(jié)合求解．

解答：解：（1）物體由H處下落到達(dá)B端，由動(dòng)能定理：mgH-μmgcos37°?

H

sin37°

=

1

2

m

v

2 B

代入數(shù)據(jù)解得：v_B=6m/s
物體運(yùn)動(dòng)到由B運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)：-2mgR=

1

2

mvD2-

1

2

mvB2
D點(diǎn)有：N1+mg=m

vD2

R

得：N₁=62.5N
（2）物體若能通過(guò)D點(diǎn)在水平面處的最小速度為v₀，則由動(dòng)能定理：-2mgR=

1

2

m(

gR

)2-

1

2

mv02
得：v₀=4m/s
物體上傳送帶時(shí)速度為6m/s，上傳送帶后先減速為0，再反向加速：5m/s＜6m/s，則反向時(shí)E的速度為5m/s．由5m/s＞4m/s，物體能夠到達(dá)D點(diǎn)．
物體運(yùn)動(dòng)到由E運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)：-2mgR=

1

2

mvD2-

1

2

mvE2
D點(diǎn)有：N2+mg=m

vD2

R

得：N₂=28.125N
（3）物體運(yùn)動(dòng)若要第二次到達(dá)D點(diǎn)，從傳送帶上返回E點(diǎn)時(shí)，速度至少為4m/s，則傳送帶的速度至少為4m/s．
物體滑上傳送帶后的運(yùn)動(dòng)圖象可由下圖表示

可知傳送帶速度越大兩者的相對(duì)位移越小．綜合以上分析傳送帶的速度為4m/s時(shí)，在傳送帶上放熱最少．而在斜面上運(yùn)動(dòng)時(shí)，摩擦放熱為定值．綜上所述：
在斜面上摩擦放熱：Q₁=μ₁mgcos37°?

h

sin37°

=9J
物體在傳送帶上運(yùn)動(dòng)：Q₂=μ₂mg△x=50J
則摩擦總共放熱：Q=Q₁+Q₂=59J
（4）若物體不脫離圓軌道形式有兩種：一種是全部通過(guò)D點(diǎn)，一種是物塊滑到CD的圓心高度以下．由圖（3）的圖象可知，由于傳動(dòng)速度足夠大，則物體無(wú)論以什么樣的速度滑上傳送帶，返回的速度均為原來(lái)的速度，物體的機(jī)械能損失全部發(fā)生在斜面上．
一、物體十次全部能經(jīng)過(guò)D點(diǎn)：
設(shè)某次物體從左端滑上斜面理速度為v_n，滑上又滑下后的速度為v_n+1．
由能量守恒得：
  上升過(guò)程：

1

2

m

v

2 n

=mgh+μmgcos37°?

h

sin37°

  下滑過(guò)程：

1

2

m

v

2 n+1

=mgh-μmgcos37°?

h

sin37°

得：

v 2 n

v 2 n+1

=

2

1

即每次滑上滑下斜面后，動(dòng)能變?yōu)樵瓉?lái)的

1

2

，數(shù)列為等比數(shù)列．
第十次滑上D點(diǎn)時(shí)，從經(jīng)過(guò)EC滑上圓軌道的速度至少為4m/s，第十次v102=16，則v12=16×24=256，即物體第一次沖上圓軌道的速度為16m/s．
此時(shí)由釋放點(diǎn)到B點(diǎn)動(dòng)能定理：mgH₁-μmgcos37°?

H1

sin37°

=

1

2

m

v

2 B

得：H₁=19.2m
則釋放的最小高度為19.2m
二物體最高到達(dá)CD圓心高度，則由動(dòng)能定理：mgH₂-μmgcos37°?

H2

sin37°

-mgR=0
得：H₂=0.24m
討論：下面討論物體是否存在能夠在一次經(jīng)過(guò)D點(diǎn)，經(jīng)過(guò)斜面滑上滑下后到達(dá)不了CD圓心高度．
由于通過(guò)最高點(diǎn)機(jī)械能至少為mg2R+

1

2

m(

gR

)2，經(jīng)過(guò)一次滑上滑下斜面后，物體上圓軌道時(shí)機(jī)械能變?yōu)樵瓉?lái)一半，則

1

2

(mg2R+

1

2

m(

gR

)2)＞mgR．故不可能出現(xiàn)經(jīng)過(guò)D點(diǎn)后下一次沖不到圓心高度的情況．
綜上所述：H∈（0，0.24m]∪[19.2m，+∞）
答：（1）①第一次經(jīng)過(guò)B點(diǎn)時(shí)的速度大小是6m/s．②第一次經(jīng)過(guò)D點(diǎn)時(shí)軌道對(duì)物塊的壓力大小為62.5N．
（2）第二次通過(guò)最高點(diǎn)D點(diǎn)時(shí)軌道對(duì)物塊的壓力大小是28.125N．
（3）物塊和各接觸面摩擦至少要產(chǎn)生59J熱量才能保證物體能夠兩次到達(dá)D點(diǎn)．
（4）釋放物塊的高度的要求為：H∈（0，0.24m]∪[19.2m，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：此題要求熟練掌握動(dòng)能定理、能量守恒定律、圓周運(yùn)動(dòng)等規(guī)律，包含知識(shí)點(diǎn)多，難度較大，關(guān)鍵要反復(fù)運(yùn)用動(dòng)能定理列式研究．