Question

如圖所示，質(zhì)量為M的長(zhǎng)板靜置在光滑的水平面上，左側(cè)固定一勁度系數(shù)為K且足夠長(zhǎng)的水平輕質(zhì)彈簧，右側(cè)用一根不可伸長(zhǎng)的細(xì)繩連接于墻上（細(xì)繩張緊），細(xì)繩所能承受的最大拉力為T．讓一質(zhì)量為m、初速為v₀的小滑塊在長(zhǎng)板上無(wú)摩擦地對(duì)準(zhǔn)彈簧水平向左運(yùn)動(dòng)．試求：
（1）在什么情況下細(xì)繩會(huì)被拉斷？
（2）細(xì)繩被拉斷后，長(zhǎng)板所能獲得的最大加速度多大？
（3）滑塊最后離開長(zhǎng)板時(shí)，相對(duì)地面速度恰為零的條件是什么？

Answer 1

分析：（1）假設(shè)繩子不斷，當(dāng)滑塊速度減為零時(shí)，彈性勢(shì)能最大，彈力最大，繩子的張力最大，等于彈簧的彈力；然后根據(jù)機(jī)械能守恒定律和胡克定律列式求解；
（2）當(dāng)滑塊與長(zhǎng)木板速度相等時(shí)，彈力最大，加速度最大；先求解出斷開時(shí)滑塊速度，然后根據(jù)動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒定律列式聯(lián)立求解出共同速度，得到最大加速度．
（3）滑塊與長(zhǎng)木板分離后，速度恰好為零，根據(jù)動(dòng)量守恒定律和機(jī)械能守恒定律列式后聯(lián)立求解即可．

解答：解：（1）m對(duì)彈簧的彈力大于等于細(xì)繩的拉力T時(shí)細(xì)繩將被拉斷，有：
T=kx₀    ①

1

2

mv02≥

1

2

kx02  ②
解①②式得v0≥

T

mk

（2）細(xì)繩剛斷時(shí)小滑塊的速度不一定為零，設(shè)為v₁，由機(jī)械能守恒有：

1

2

mv02=

1

2

mv12+

1

2

kx02
∴v1=

v02- T2 mk

    ③
當(dāng)滑塊和長(zhǎng)板的速度相同時(shí)，設(shè)為v₂，彈簧的壓縮量x最大，此時(shí)長(zhǎng)板的加速度a最大，由動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒有
mv₁=（M+m）v₂    ④

1

2

mv02=

1

2

(m+M)v22+

1

2

kx2  ⑤
kx=aM  ⑥
代入③式解④⑤⑥式得a=

1

M

m m+M (kMv02+T2)

（3）設(shè)滑塊離開長(zhǎng)板時(shí)，滑塊速度為零，長(zhǎng)板速度為v₃，由動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒有
mv₁=Mv₃    ⑦

1

2

mv02=

1

2

Mv32  ⑧
代入③解⑦⑧式得
v0=

T

(m-M)k

（m＞M）
答：（1）當(dāng)v0≥

T

mk

時(shí)細(xì)繩會(huì)被拉斷；
（2）細(xì)繩被拉斷后，長(zhǎng)板所能獲得的最大加速度為

1

M

m m+M (kMv02+T2)

；
（3）滑塊最后離開長(zhǎng)板時(shí)，相對(duì)地面速度恰為零的條件是v0=

T

(m-M)k

（m＞M）．

點(diǎn)評(píng)：本題關(guān)鍵要分析清楚滑塊和滑板的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，能結(jié)合機(jī)械能守恒定律和動(dòng)量守恒定律多次列式后聯(lián)立分析，較難．