Question

如圖是計(jì)算機(jī)模擬出的一種宇宙空間的情境，在此宇宙空間存在這樣一個(gè)遠(yuǎn)離其他空間的區(qū)域，以MN為界，上部分勻強(qiáng)磁場的磁感強(qiáng)度為B₁，下部分的勻強(qiáng)磁場的磁感強(qiáng)度為B₂，B₁=2B₂=2B₀，方向相同，且磁場區(qū)域足夠大．在距離界線為h的P點(diǎn)有一宇航員處于靜止?fàn)顟B(tài)，宇航員以平行于界線的速度拋出一質(zhì)量為m、帶電量-q的小球，發(fā)現(xiàn)球在界線處速度方向與界線成60°角，進(jìn)入下部分磁場．然后當(dāng)宇航員沿與界線平行的直線勻速到達(dá)目標(biāo)Q點(diǎn)時(shí)，剛好又接住球而靜止，求
（1）PQ間距離是多大？
（2）宇航員質(zhì)量是多少？

Answer 1

分析：（1）小球在兩個(gè)磁場均做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由洛侖茲力充當(dāng)向心力及圓周運(yùn)動(dòng)的性質(zhì)，可求得粒子運(yùn)動(dòng)的關(guān)徑及周期；由粒子運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱性可求得PQ間的距離；
（2）由粒子的運(yùn)動(dòng)過程可求得宇航員運(yùn)動(dòng)的速度；由動(dòng)量守恒可求得宇航員的質(zhì)量．

解答：解：
（1）畫出小球在磁場B₁中運(yùn)動(dòng)的軌跡如圖所示，可知
R₁-h=R₁cos60°，R₁=2h
由qvB=

mv2

R

和B₁=2B₂
可知R₂=2R₁=4h
由qv(2B0)=

mv2

R1

得v=

4qB0h

m

根據(jù)運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱性，PQ的距離為
l=2（R₂sin60°-R₁sin60°）=2

3

h；
（2）粒子由P運(yùn)動(dòng)到Q的時(shí)間t=

T1

3

+

2T2

3

=

1

3

2πm

q(2B0)

+

2

3

2πm

qB0

=

5πm

3qB0

宇航員勻速運(yùn)動(dòng)的速度大小為V=

l

t

=

6 3 qB0h

5πm

由動(dòng)量守恒定律得MV-mv=0
可求得宇航員的質(zhì)量M=

10πm

3 3

答：（1）PQ間的距離為2

3

h；（2）宇航員的質(zhì)量為

10πm

3 3

．

點(diǎn)評(píng)：在解決帶電粒子在磁場中的運(yùn)動(dòng)時(shí)，要“定圓心、求半徑”，利用好幾何關(guān)系進(jìn)行求解．