Question

我國(guó)分別于2007年10月24日和2010年10月1日成功發(fā)射“嫦娥一號(hào)”和“嫦娥二號(hào)”月球探測(cè)衛(wèi)星，標(biāo)志著我國(guó)實(shí)施繞月探測(cè)工程邁出重要一步，在政治、經(jīng)濟(jì)、軍事、科技乃至文化領(lǐng)域都具有非常重大的意義，同學(xué)們也對(duì)月球有了更多的關(guān)注．
（1）若已知地球半徑為R，地球表面的重力加速度為g，月球繞地球運(yùn)動(dòng)的周期為T，月球繞地球的運(yùn)動(dòng)近似看做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，試求出月球繞地球運(yùn)動(dòng)的軌道半徑r₁；
（2）若將來(lái)我國(guó)的宇航員隨登月飛船登陸月球后，宇航員在月球表面完成下面實(shí)驗(yàn)：在一固定的豎直光滑圓弧軌道內(nèi)部最低點(diǎn)靜止一質(zhì)量為m的小球（可視為質(zhì)點(diǎn)）如圖所示，現(xiàn)給小球一瞬間水平速度V，小球剛好能在豎直面內(nèi)做完整的圓周運(yùn)動(dòng)．已知圓弧軌道半徑為r，月球的半徑為R_O，萬(wàn)有引力常量為G，試求出月球的質(zhì)量M_月．

Answer 1

分析：（1）月球繞地球運(yùn)轉(zhuǎn)，萬(wàn)有引力定律提供向心力；對(duì)地球表面物體m有G

Mm

R2

=mg，聯(lián)立方程即可求解；
（2）設(shè)月球表面重力加速度為g₁，小球在最高點(diǎn)的速度為v₁，由機(jī)械能守恒定律列出方程，小球剛好能在豎直面內(nèi)做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，重力提供向心力，聯(lián)立方程即可求解．

解答：解：（1）月球繞地球運(yùn)轉(zhuǎn)，萬(wàn)有引力定律提供向心力：
G

M月M

r12

=M月(

2π

T

)2r1①
對(duì)地球表面物體m：G

Mm

R2

=mg②
聯(lián)立①②解得：r₁=

3	gR2T2 4π2

（2）設(shè)月球表面重力加速度為g₁，小球在最高點(diǎn)的速度為v₁，由機(jī)械能守恒定律，小球在從最低點(diǎn)到最高點(diǎn)的過(guò)程中，有：

1

2

mV2=2mg1r+

1

2

m

V

2 1

③
由題意，小球在最高點(diǎn)時(shí)，有：mg1=m

V 2 1

r

④
聯(lián)立③④解得：g1=

V2

5r

⑤
G

M月m

R02

=mg1⑥
聯(lián)立⑤⑥解得：M月=

R 2 0 V2

5Gr

答：（1）月球繞地球運(yùn)動(dòng)的軌道半徑r₁為

3	gR2T2 4π2

；
（2）月球的質(zhì)量M_月為

R 2 0 V2

5Gr

．

點(diǎn)評(píng)：該題主要考查了天體運(yùn)動(dòng)向心力公式及機(jī)械能守恒定律，要注意黃金代換式G

Mm

R2

=mg的應(yīng)用，難度適中．