Question

如圖1所示，一端封閉的兩條平行光滑長(zhǎng)導(dǎo)軌相距L，距左端L處的右側(cè)一段被彎成半徑為的四分之一圓弧，圓弧導(dǎo)軌的左、右兩段處于高度相差的水平面上。以弧形導(dǎo)軌的末端點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，水平向右為x軸正方向，建立Ox坐標(biāo)軸。圓弧導(dǎo)軌所在區(qū)域無(wú)磁場(chǎng)；左段區(qū)域存在空間上均勻分布，但隨時(shí)間t均勻變化的磁場(chǎng)B(t)，如圖2所示；右段區(qū)域存在磁感應(yīng)強(qiáng)度大小不隨時(shí)間變化，只沿x方向均勻變化的磁場(chǎng)B(x)，如圖3所示；磁場(chǎng)B(t)和B(x)的方向均豎直向上。在圓弧導(dǎo)軌最上端，放置一質(zhì)量為m的金屬棒ab，與導(dǎo)軌左段形成閉合回路，金屬棒由靜止開(kāi)始下滑時(shí)左段磁場(chǎng)B(t)開(kāi)始變化，金屬棒與導(dǎo)軌始終接觸良好，經(jīng)過(guò)時(shí)間t₀金屬棒恰好滑到圓弧導(dǎo)軌底端。已知金屬棒在回路中的電阻為R，導(dǎo)軌電阻不計(jì)，重力加速度為g。
（1）求金屬棒在圓弧軌道上滑動(dòng)過(guò)程中，回路中產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)E；
（2）如果根據(jù)已知條件，金屬棒能離開(kāi)右段磁場(chǎng)B(x)區(qū)域，離開(kāi)時(shí)的速度為v，求金屬棒從開(kāi)始滑動(dòng)到離開(kāi)右段磁場(chǎng)過(guò)程中產(chǎn)生的焦耳熱Q；
（3）如果根據(jù)已知條件，金屬棒滑行到x=x₁位置時(shí)停下來(lái)，
a. 求金屬棒在水平軌道上滑動(dòng)過(guò)程中通過(guò)導(dǎo)體棒的電荷量q；
b. 通過(guò)計(jì)算，確定金屬棒在全部運(yùn)動(dòng)過(guò)程中感應(yīng)電流最大時(shí)的位置。

Answer 1

解：（1）由圖2可知，
根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律，感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)    ①
（2）金屬棒在弧形軌道上滑行過(guò)程中，產(chǎn)生的焦耳熱
金屬棒在弧形軌道上滑行過(guò)程中，根據(jù)機(jī)械能守恒定律
   ②
金屬棒在水平軌道上滑行的過(guò)程中，產(chǎn)生的焦耳熱為，根據(jù)能量守恒定律

所以，金屬棒在全部運(yùn)動(dòng)過(guò)程中產(chǎn)生的焦耳熱

（3）a．根據(jù)圖3，x=x₁（x₁﹤x₀）處磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度。設(shè)金屬棒在水平軌道上滑行時(shí)間為。由于磁場(chǎng)B(x)沿x方向均勻變化，根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律
時(shí)間內(nèi)的平均感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)
所以，通過(guò)金屬棒電荷量
b．金屬棒在弧形軌道上滑行過(guò)程中，根據(jù)①式，
金屬棒在水平軌道上滑行過(guò)程中，由于滑行速度和磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度都在減小，所以，此過(guò)程中，金屬棒剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)，感應(yīng)電流最大
根據(jù)②式，剛進(jìn)入水平軌道時(shí)，金屬棒的速度
所以，水平軌道上滑行過(guò)程中的最大電流
若金屬棒自由下落高度，經(jīng)歷時(shí)間，顯然t₀﹥t
所以，
綜上所述，金屬棒剛進(jìn)入水平軌道時(shí)，即金屬棒在x= 0處，感應(yīng)電流最大