Question

在xoy 平面第Ⅰ、Ⅱ象限中，存在沿y軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，場(chǎng)強(qiáng)為E=

πBl

3t

，在第Ⅲ、Ⅳ象限中，存在垂直于xoy平面方向如圖所示的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度B₂=2B₁=2B，帶電粒子a、b先后從第Ⅰ、Ⅱ象限的P、Q兩點(diǎn)（圖中沒有標(biāo)出）由靜止釋放，結(jié)果兩粒子同時(shí)進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)B₁、B₂中，再經(jīng)過(guò)時(shí)間t第一次經(jīng)過(guò)y軸時(shí)恰在點(diǎn)M（0，-

3

l）處發(fā)生正碰（即碰前兩粒子速度方向相反），碰撞前帶電粒子b的速度方向與y 軸正方向成60°角，不計(jì)粒子重力和兩粒子間相互作用．求：
（1）兩帶電粒子的比荷及在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑；
（2）帶電粒子釋放的位置P、Q兩點(diǎn)坐標(biāo)及釋放的時(shí)間差．

Answer 1

分析：做出兩粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡圖，兩粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間相同，粒子磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)周期T=

2πm

qB

，結(jié)合幾何關(guān)系可求解比荷即軌跡半徑；
粒子在電場(chǎng)中由于電場(chǎng)力作用加速運(yùn)動(dòng)，在磁場(chǎng)中受洛倫茲力偏轉(zhuǎn)，根據(jù)動(dòng)能定理和洛倫茲力公式可求解縱坐標(biāo)，根據(jù)幾何關(guān)系苛求橫坐標(biāo)，從而苛求PQ兩點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答：解：（1）粒子運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示，兩粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間相等且為t，即t₁=t₂=t
而t₁=

T1

6

=

πm1

3q1B1

，t₂=

T2

3

=

2πm2

3q2B2

代入B₂=2B₁=2B，解得：

q1

m1

=

q2

m2

=

π

3Bt

由幾何關(guān)系知：R₁=R₂=

3 l

sin60°

=2l

（2）由qvB=

mv2

R

可得：v=

qBR

m

故：v1=

q1B1R1

m1

=

2πl(wèi)

3t

v2=

q2B2R2

m2

=

4πl(wèi)

3t

由qEy=

1

2

mv2得：y=

mv2

2qE

故：y₁=

m1 v 2 1

2q1E

=2l
y2=

m2 v 2 2

2q2E

=8l
由圖可知，x₁=R-Rcos60°=l
x₂=-（R+Rcos60°）=-3l
故P、Q點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（l，2l）、（-3l，8l）
粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為：t=

v

a

其中加速度a=

qE

m

=

π2l

9t2

故兩粒子由靜止釋放的時(shí)間差：△t=

9t2

π2l

(v2-v1)=

6t

π

答：（1）兩帶電粒子的比荷

q1

m1

=

q2

m2

=

π

3Bt

，在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑R₁=R₂=2l；
（2）帶電粒子釋放的位置P、Q兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為（l，2l）、（-3l，8l），釋放的時(shí)間差為

6t

π

．

點(diǎn)評(píng)：本題為帶電粒子在混合場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，關(guān)鍵是做出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡圖，運(yùn)用數(shù)學(xué)方法解決物理問(wèn)題．