Question

如圖1，在xoy 平面內(nèi)有垂直紙面的有界勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小均為B，其中0＜x＜a區(qū)域內(nèi)磁場方向垂直xoy 平面向里，a＜x區(qū)域內(nèi)磁場方向垂直xoy 平面向外，x＜0區(qū)域內(nèi)無磁場．一個帶正電q、質(zhì)量為m 的粒子（粒子重力不計）在坐標(biāo)原點(diǎn)處，以某一初速度沿x軸正方向射入磁場．

（1）求要使粒子能進(jìn)入第二個磁場，初速度要滿足的條件；
（2）粒子初速度改為v₁，要使粒子經(jīng)過兩個磁場后沿x軸負(fù)方向經(jīng)過O點(diǎn)，求圖中磁場分界線（圖中虛線）的橫坐標(biāo)值為多少？要在圖2中畫出軌跡圖．
（3）在第二問的情況下，要使帶電粒子第二次回到O點(diǎn)，且回到O點(diǎn)時的速度方向沿x軸正方向，請在x＜0內(nèi)設(shè)計符合要求的磁場，在圖2上標(biāo)明磁場的方向、磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小和邊界的坐標(biāo)？
（4）若粒子在第一個磁場中作圓周運(yùn)動的軌跡半徑為R=

2

a，求粒子在磁場中的軌跡與x 軸的交點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）質(zhì)子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動，由牛頓第二定律與R＞a，即可求解；
（2）根據(jù)對稱性，結(jié)合洛倫茲力方向，及運(yùn)動與力的關(guān)系，即可求解；
（3）質(zhì)子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動，根據(jù)牛頓第二定律，得出半徑公式，再由幾何關(guān)系，可得出圓方程，從而求出交點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答：解：（1）質(zhì)子在磁場中受到洛倫茲力做勻速圓周運(yùn)動，
根據(jù)牛頓第二定律則有：qvB=m

v2

R

，
進(jìn)入第二個磁場的條件：R＞a 
初速度滿足：v＞

Bqa

m

（2）有對稱性分析，右邊的圓弧的圓心一定在X軸上，正確畫出軌跡圖，
且三段圓弧的圓心正好構(gòu)成一個正三角形，
所以θ=60° a
點(diǎn)的坐標(biāo)變?yōu)閄=R sinθ=

3 mv0

2Bq

（3）如圖所示，
（4）質(zhì)子在磁場中受到洛倫茲力做勻速圓周運(yùn)動，
根據(jù)牛頓第二定律，有：qvB=m

v2

R

，
得質(zhì)子做勻速圓周運(yùn)動的半徑為：R=

mv

Bq

，
帶電粒子在兩個磁場中的半徑都為R=

2

a，
則有sinθ=

a

R

，
得到θ=45°，
圓心C的坐標(biāo)為X_C=2Rsinθ=2a
YC=-(2a?R)=-(2-

2

)a，所以圓方程為(x-2a)2+(y+2a-

2

a)2=2a2，
將y=0代入得，X=2（1+

2 -1

）a，所以交點(diǎn)坐標(biāo)為(2(1+

2 -1

)a，0)
答：（1）求要使粒子能進(jìn)入第二個磁場，初速度要滿足的條件是：v＞

Bqa

m

；
（2）粒子初速度改為v₁，要使粒子經(jīng)過兩個磁場后沿x軸負(fù)方向經(jīng)過O點(diǎn)，則圖中磁場分界線（圖中虛線）的橫坐標(biāo)值為X=

3 mv0

2Bq

；要在圖2中畫出軌跡圖．
（3）如圖所示，
（4）若粒子在第一個磁場中作圓周運(yùn)動的軌跡半徑為R=

2

a，求粒子在磁場中的軌跡與x 軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(2(1+

2 -1

)a，0)．

點(diǎn)評：本題關(guān)鍵是明確粒子的運(yùn)動，畫出軌跡，然后結(jié)合幾何關(guān)系，由勻速圓周運(yùn)動進(jìn)行分析計算．