Question

（2008?江蘇模擬）已知地球半徑為R，一個(gè)靜止在赤道上空的熱氣球（不計(jì)氣球離地高度）繞地心運(yùn)動的角速度為ω₀，一顆人造地球衛(wèi)星的圓形軌道距地面高度為h，地球質(zhì)量、熱氣球質(zhì)量和人造地球衛(wèi)星和質(zhì)量分別用M、m和m₁表示，M、m、m₁及引力常量G為未知量，根據(jù)上述條件，有位同學(xué)列出經(jīng)下一兩個(gè)式子：對熱氣球有

GMm

R2

=m

ω

2 0

R，對人造地球衛(wèi)星有

GMm1

(R+h)2

=m1ω2(R+h)．該同學(xué)利用上面兩個(gè)式子解出了人造地球衛(wèi)星繞地球運(yùn)行的角速度ω．你認(rèn)為這個(gè)同學(xué)的解法是否正確？若認(rèn)為正確，請算出結(jié)果，若認(rèn)為不正確，請說明理由，并補(bǔ)充一個(gè)條件后，再求出ω（要求分三次補(bǔ)充不同的條件求解）．

Answer 1

分析：靜止在赤道上空的熱氣球受重力和浮力處于平衡，繞地心運(yùn)動所需的向心力不是由萬有引力提供，是萬有引力與浮力的合力提供向心力．所以該同學(xué)的解法是錯(cuò)誤的．

解答：解：第一個(gè)等式不正確，因?yàn)闊釟馇蜢o止在空中是因?yàn)楦×εc重力平衡，它受到地球的引力并不等于它繞地心運(yùn)動的向心力．
（1）若補(bǔ)充地球表面的重力加速度g，認(rèn)為熱氣球受到的萬有引力近似等于其重力，
則有

GMm

R2

=mg
與題中第二個(gè)等式聯(lián)立可得ω=

R

R+h

g R+h

（2）若利用同步衛(wèi)星的高度H有

GMm/

(R+h)2

=m/

ω

2 0

(R+h)，
與題中第二個(gè)等式聯(lián)立可得ω=ω0(

R+H

R+h

)

3

2

（3）若利用第一宇宙速度v₁  
根據(jù)萬有引力提供向心力，有

GMm/

R2

=

m/ v 2 1

R

與題中第二個(gè)等式聯(lián)立可得ω=v1

R (R+h)3

答：第一個(gè)等式不正確，若補(bǔ)充地球表面的重力加速度g，ω=

R

R+h

g R+h

若補(bǔ)充同步衛(wèi)星的高度H，ω=ω0(

R+H

R+h

)

3

2

若補(bǔ)充第一宇宙速度v₁，ω=v1

R (R+h)3

．

點(diǎn)評：本題考查了萬有引力在天體中的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵在于找出向心力的來源，并能列出等式解題．
要注意熱氣球受地球的引力并不等于它繞地心所需的向心力．