Question

兩顆衛(wèi)星在同一軌道平面繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，地球半徑為R，a衛(wèi)星離地面的高度等于R，b衛(wèi)星離地面高度為3R，則：
（1）a、b兩衛(wèi)星周期之比T_a：T_b是多少？
（2）若某時(shí)刻兩衛(wèi)星正好同時(shí)通過地面同一點(diǎn)的正上方，則a至少經(jīng)過多少個(gè)周期兩衛(wèi)星相距最遠(yuǎn)？

Answer 1

分析：根據(jù)開普勒行星運(yùn)動(dòng)定律之周期定律可求周期之比，將衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)看成勻速圓周運(yùn)動(dòng)處理

解答：解：（1）R_a=2R，R_b=4R
由開普勒行星運(yùn)動(dòng)規(guī)律知：

R 3 a

T 2 a

=

R 3 b

T 2 b

所以T_a：T_b=Ra

3

2

：Rb

3

2

=1：2

2

①
（2）設(shè)經(jīng)過t時(shí)間 二者第一次相距最遠(yuǎn)，
若兩衛(wèi)星同向運(yùn)轉(zhuǎn)，此時(shí)a比b多轉(zhuǎn)半圈，即

t

Ta

-

t

Tb

=

1

2

解得t=

0.5TaTb

Tb-Ta

②
這段時(shí)間a經(jīng)過的周期數(shù)為n=

t

Ta

③
由①②③可得n=

4+ 2

7

若兩衛(wèi)星反向運(yùn)轉(zhuǎn)，（

2π

Ta

+

2π

Tb

）t=π  ④
這段時(shí)間a經(jīng)過的周期數(shù)為n′=

t

Ta

⑤
由①④⑤得n′=

4- 2

7

故答案為（1）T_a：T_b=1：2

2

（2）

4+ 2

7

或

4- 2

7

點(diǎn)評：本題既可應(yīng)用萬有引力提供向心力求解，也可應(yīng)用開普勒行星運(yùn)動(dòng)定律求解，以后者較為方便，兩衛(wèi)星何時(shí)相距最遠(yuǎn)的求解，要分同向運(yùn)轉(zhuǎn)與反向運(yùn)轉(zhuǎn)兩種情形，用到的數(shù)學(xué)變換相對較多，增加了本題難度．