Question

粒子擴(kuò)束裝置如圖甲所示，由粒子源、加速電場(chǎng)、偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)和偏轉(zhuǎn)磁場(chǎng)組成．粒子源A產(chǎn)生相同的帶正電粒子（粒子質(zhì)量為m，電荷量為q，其所受重力不計(jì)）由靜止開(kāi)始，經(jīng)加速電場(chǎng)加速后，連續(xù)不斷地沿平行于導(dǎo)體板的方向從兩極板正中央射入偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)．偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)的極板間距為d，偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)的電壓如圖乙所示（已知偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)的周期為T，偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)的電壓最大值U2=

md2

qT2

），加速電場(chǎng)的電壓為U1=

2md2

3qT2

．偏轉(zhuǎn)磁場(chǎng)水平寬度為L2=

3

d、豎直長(zhǎng)度足夠大，磁場(chǎng)右邊界為豎直放置的熒光屏，磁場(chǎng)方向垂直紙面向外．已知粒子通過(guò)偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)的時(shí)間為T．不考慮粒子間相互作用．求：
（1）偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)的極板長(zhǎng)度L₁
（2）粒子射出偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)的最大側(cè)移量）y_max
（3）求磁感應(yīng)強(qiáng)度B為多少時(shí)，粒子能打到熒光屏上盡可能低的位置，求最低位置離中心點(diǎn)O的距離h．

Answer 1

分析：（1）粒子經(jīng)加速電場(chǎng)加速后，在偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)類平拋運(yùn)動(dòng)知識(shí)，已知在偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間可以求出偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)的極板長(zhǎng)度L₁
（2）粒子進(jìn)入偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)時(shí)，若有偏轉(zhuǎn)電壓則粒子在電場(chǎng)方向上先做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，在偏轉(zhuǎn)電壓為0時(shí)粒子將保持電場(chǎng)方向上的速度做勻速直線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)粒子一進(jìn)入偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)時(shí)偏轉(zhuǎn)電壓為0，則在電場(chǎng)方向先做勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)偏轉(zhuǎn)電壓不為0時(shí)開(kāi)始做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，由此可以判斷粒子何時(shí)進(jìn)入電場(chǎng)偏轉(zhuǎn)位移最大，何時(shí)進(jìn)入電場(chǎng)偏轉(zhuǎn)位移最小．
（3）作出粒子在磁場(chǎng)中的臨界運(yùn)動(dòng)軌跡，知道什么情況下粒子進(jìn)入磁場(chǎng)打到屏上的位置盡可能低，并根據(jù)幾何關(guān)系求解半徑關(guān)系和最低點(diǎn)離O點(diǎn)的距離h．

解答：解：（1）粒子加速后進(jìn)入偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)的速度為v₀，則由動(dòng)能定理有：
qU1=

1

2

m

v

2 0

可得：v0=

2qU1 m

=

2q m × 2md2 3qT2

=

2 3 d

3T

又因?yàn)榱Ｗ釉谒�平方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，故有：
L₁=v₀t
得：L1=

2 3 d

3T

×T=

2 3

3

d
（2）粒子進(jìn)入偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)后，有偏轉(zhuǎn)電壓時(shí)做電場(chǎng)方向做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，沒(méi)有偏轉(zhuǎn)電壓時(shí)保持原有運(yùn)動(dòng)，要使粒子射出電場(chǎng)時(shí)有最大側(cè)位移，則需在t=nT（n=0，1，2，3…）時(shí)進(jìn)入偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)，此時(shí)粒子先做

2T

3

的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，在電場(chǎng)方向再以最大速度做

T

3

的勻速直線運(yùn)動(dòng)．
在偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)中的加速度a=

qE

m

=

q U2 d

m

=

qU2

md

=

q

md

×

md2

qT2

=

d

T2

粒子在前

2T

3

的側(cè)向位移y1=

1

2

at2=

1

2

×

d

T2

×(

2T

3

)2=

2

9

d
此時(shí)粒子的側(cè)向速度為：vy=at=

d

T2

×

2T

3

=

2d

3T

所以在后

T

3

時(shí)間內(nèi)粒子側(cè)向做勻速直線運(yùn)動(dòng)的位移
y2=vy×

T

3

=

2d

3T

×

T

3

=

2

9

d
所以粒子射出偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)的最大側(cè)位移
ymax=y1+y2=

4

9

d
（3）根據(jù)左手定則．粒子進(jìn)入磁場(chǎng)后向下偏轉(zhuǎn)，粒子在t=（n+

2

3

）T（n=0，1，2，3…）時(shí)射入偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)時(shí)側(cè)位移最小
最小側(cè)位移為：ymin=

1

2

at2=

1

2

×

d

T2

×(

2T

3

)2=

2

9

d
設(shè)粒子在射出電場(chǎng)時(shí)的偏轉(zhuǎn)角為θ
則有：tanθ=

vy

v0

=

a 2T 3

v0

=

d T2 × 2T 3

2 3 d 3T

=

3

3

即θ=30°
如圖：

根據(jù)粒子運(yùn)動(dòng)軌跡知，只有側(cè)位移最小的粒子磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)與熒光屏相切時(shí)，打到熒光屏的位置最低．
如圖可知，粒子進(jìn)入磁場(chǎng)中的速度v=

vy

sinθ

=

a 2T 3

sin30°

=

d T2 × 2T 3

1 2

=

4d

3T

洛倫茲力提供向心力有：
qvB=

mv2

R

由圖示幾何關(guān)系有：R(1+sinθ)=L2=

3

d
∴B=

mv

qR

=

m 4d 3T

q 3 d 1+sin30°

=

2 3 md

3qT

最低位置為軌跡與屏的切點(diǎn)，即h=Rcosθ-y_min=

3 d

1+sinθ

cosθ-

2d

9

=

7

9

d

答：（1）偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)的極板長(zhǎng)度L₁=

2 3

3

d
（2）粒子射出偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)的最大側(cè)移量ymax=

4

9

d
（3）當(dāng)磁感應(yīng)強(qiáng)度B為

2 3 md

3qT

時(shí)粒子能打到熒光屏上盡可能低的位置，最低位置離中心點(diǎn)O的距離h=

7

9

d

點(diǎn)評(píng)：本題的難點(diǎn)是分析帶電粒子的運(yùn)動(dòng)情況，電荷在電場(chǎng)中的偏轉(zhuǎn)做類平拋運(yùn)動(dòng)，關(guān)鍵是運(yùn)動(dòng)的合成與分解；電荷在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，關(guān)鍵是畫出軌跡，由幾何知識(shí)求出半徑．