Question

如圖所示，水平導(dǎo)軌間距為L左端接有阻值為R的定值電阻，在距左端x₀處放置一根質(zhì)量為m、電阻為r的導(dǎo)體棒，導(dǎo)體棒與導(dǎo)軌間無摩擦且始終保持良好接觸，導(dǎo)軌的電阻可忽略，整個裝置處在豎直向上的勻強磁場中，問：在下列各種情況下，作用在導(dǎo)體棒上的水平拉力F的大小應(yīng)如何？
（1）磁感應(yīng)強度為B=B₀保持恒定，導(dǎo)體棒以速度v向右做勻速直線運動；
（2）磁感應(yīng)強度為B=B₀+kt隨時間t均勻增強，導(dǎo)體棒保持靜止；
（3）磁感應(yīng)強度為B=B₀保持恒定，導(dǎo)體棒由靜止始以加速度a向右做勻加速直線運動；
（4）磁感應(yīng)強度為B=B₀+kt隨時間t均勻增強，導(dǎo)體棒以速度v向右做勻速直線運動．

Answer 1

分析：（1）導(dǎo)體棒切割磁感線運動產(chǎn)生感應(yīng)電動勢和感應(yīng)電流，根據(jù)閉合電路歐姆定律求出感應(yīng)電流，導(dǎo)體棒在磁場中會受到安培力，當(dāng)拉力與安培力相等時，導(dǎo)體棒做勻速直線運動．求安培力，即可得到拉力．
（2）導(dǎo)體棒保持靜止，磁感應(yīng)強度為B=B_o+kt隨時間t均勻增強，產(chǎn)生感應(yīng)電動勢和感應(yīng)電流，根據(jù)法拉第定律和歐姆定律結(jié)合求出感應(yīng)電流，導(dǎo)體棒受拉力和安培力處于平衡．再由平衡條件求得拉力．
（3）推導(dǎo)出安培力與速度的關(guān)系，由牛頓第二定律求拉力．
（4）回路中既有動生電動勢，又有感生電動勢，根據(jù)楞次定律判斷可知兩個電動勢方向相同，相當(dāng)于電池串聯(lián)，再求得安培力，即可得解．

解答：解：（1）導(dǎo)體棒切割磁感線運動產(chǎn)生感應(yīng)電動勢E=BLv…①
感應(yīng)電流為 I=

E

R+r

…②
根據(jù)平衡條件得：F=B₀IL=

B 2 0 L2v

R+r

…③
（2）根據(jù)法拉第定律得回路中產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢 E=

△φ

△t

=

△B

△t

Lx₀…④
由B=B₀+kt知

△B

△t

=k…⑤
得 E=kLx₀…⑥
則得 F=BiL=

BLv

R+r

=

kx0L2

R+r

(B0+kt)…⑦
（3）t時刻導(dǎo)體棒的速度為 v=at…⑧
根據(jù)牛頓第二定律得 F-BIL=ma…⑨
則 F=BIL+ma=

B 2 0 L2

R+r

at+ma…⑩
（4）回路中既有動生電動勢，又有感生電動勢，根據(jù)楞次定律判斷可知兩個電動勢方向相同，則回路中總的感應(yīng)電動勢為
 E=

△φ

△t

=BLv+kL（x₀+vt）=（B₀+kt）Lv+kL（x₀+vt）…（11）
則 F=BIL=

BLE

R+r

=

(B0+kt)[(B0+kt)v+k(x0+vt)]L2

R+r

…（12）
答：
（1）磁感應(yīng)強度為B=B₀保持恒定，導(dǎo)體棒以速度v向右做勻速直線運動時，拉力為

B 2 0 L2v

R+r

．
（2）磁感應(yīng)強度為B=B₀+kt隨時間t均勻增強，導(dǎo)體棒保持靜止時，拉力為

kx0L2

R+r

(B0+kt)；
（3）磁感應(yīng)強度為B=B₀保持恒定，導(dǎo)體棒由靜止始以加速度a向右做勻加速直線運動時拉力為

B 2 0 L2

R+r

at+ma．
（4）磁感應(yīng)強度為B=B₀+kt隨時間t均勻增強，導(dǎo)體棒以速度v向右做勻速直線運動時拉力為

(B0+kt)[(B0+kt)v+k(x0+vt)]L2

R+r

．

點評：解決本題的關(guān)鍵既掌握導(dǎo)體切割產(chǎn)生的動生電動勢公式E=BLv，以及感生產(chǎn)生的電動勢公式E=

△φ

△t

，楞次定律等等電磁學(xué)知識，還要掌握力學(xué)的基本規(guī)律，如平衡條件、牛頓第二定律等等．