Question

（2012?蚌埠模擬）經(jīng)過(guò)觀察，科學(xué)家在宇宙中發(fā)現(xiàn)了許多孤立的雙星系統(tǒng)．若雙星系統(tǒng)中每個(gè)星體的質(zhì)量都是M，兩者相距為L(zhǎng)（遠(yuǎn)大于星體半徑），它們正繞兩者連線的中點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)．
①試計(jì)算雙星系統(tǒng)中的運(yùn)動(dòng)周期T_計(jì)算；
②若實(shí)際觀察到的運(yùn)動(dòng)周期為T(mén)_觀測(cè)，且T_觀測(cè)：T_計(jì)算=1：

N+1

（N＞1），為了解釋T_觀測(cè)與T_計(jì)算的不同，目前理論認(rèn)為，宇宙中可能存在觀察不到的暗物質(zhì)，假定有一部分暗物質(zhì)對(duì)雙星運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生影響，該部分物質(zhì)的作用等效于暗物質(zhì)集中在雙星的連線的中點(diǎn)，試證明暗物質(zhì)的質(zhì)量M′與星體的質(zhì)量M之比為 M′：M=N：4．

Answer 1

分析：（1）雙星繞兩者連線的中點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)，由相互之間萬(wàn)有引力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求解運(yùn)動(dòng)周期．
（2）假定在以這兩個(gè)星體連線為直徑的球體內(nèi)均勻分布著暗物質(zhì)，由暗物質(zhì)對(duì)雙星的作用與雙星之間的萬(wàn)有引力的合力提供雙星的向心力，再由牛頓第二定律求解周期T′．

解答：解：（1）以雙星系統(tǒng)中任一星球?yàn)檠芯繉?duì)象，根據(jù)牛頓第二定律得

GM2

L2

=M

4π2

T2

?

L

2

得到 T算=

2π2L3 GM

（2）設(shè)暗物質(zhì)的總質(zhì)量為m，由牛頓第二定律得

GM2

L2

+

GMM′

( L 2 )2

=M

4π2

T 2 測(cè)

?

L

2

解得：T測(cè)=

2π2L3 GM+4GM′

故：

T測(cè)

T算

=

GM GM+4GM′

=

M M+4M′

=

1 1+ 4M′ M

若：T_觀測(cè)：T_計(jì)算=1：

N+1

（N＞1），則：N=

4M′

M

即：M′：M=N：4．
答：（1）該雙星系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)周期 T算=

2π2L3 GM

 
    （2）略

點(diǎn)評(píng)：本題是雙星問(wèn)題，要抓住雙星系統(tǒng)的條件：角速度與周期相同，運(yùn)用牛頓第二定律采用隔離法進(jìn)行研究．