Question

在探究某種筆的彈跳問題時，建立以下簡化模型進行研究。

把筆分為輕質(zhì)彈簧、圓筒和直桿三部分，薄擋板P固定在直桿上，輕質(zhì)彈簧的兩端分別固定在圓筒頂部和薄擋板P上，質(zhì)量為M的圓筒可沿直桿無摩擦滑動，直桿和擋板P的總質(zhì)量為m。開始時將筆直立于水平桌面，在桌面上方的矩形區(qū)域內(nèi)有豎直向上的勻強電場，帶正電的擋板P非常靠近電場的上邊界，擋板P與周圍物體絕緣接觸，受到的電場力與筆的重力大小相等。向上移動圓筒使彈簧處于原長狀態(tài)，此時擋板P剛好與圓筒底部接觸，如圖甲所示�，F(xiàn)用力緩慢向下壓圓筒，使圓筒底部恰好與水平桌面接觸，此過程中壓力做功為W，如圖乙所示。撤除壓力，圓筒彈起并與擋板P碰撞，兩者一起上升到最大高度后自由落下，此后直桿在桌面上多次跳動。

       假設(shè)圓筒與擋板P每次碰撞結(jié)束時均具有相同速度，碰撞時間均忽略不計。直桿與桌面每次碰撞后均不反彈，直桿始終保持豎直狀態(tài)。不計一切摩擦與空氣阻力，重力加速度大小為g，求：

   （1）直桿第一次上升的最大高度h₁；

   （2）直桿運動的總路程h。

Answer 1

解答：

   （1）設(shè)將圓筒下移h₀，設(shè)其底部與水平桌面接觸時，彈簧的彈性勢能為E_P，

       根據(jù)功能關(guān)系

                                 ① 2分

       撤除壓力后，當(dāng)彈簧恢復(fù)原長時，設(shè)圓筒與擋板碰前的速度為v₀，

       根據(jù)能量守恒

                         ② 2分

       聯(lián)立①②解得                 ③

       設(shè)圓筒與直桿碰撞后共同速度為v₁，

       由動量守恒定律  Mv₀＝(M＋m)v₁     ④ 2分

       此后圓筒與桿共同做豎直上拋運動                             ⑤2分

       聯(lián)立③④⑤解得  h₁＝                                       ⑥ 2分

   （2）由于，所以此后圓筒底部不再與水平桌面接觸。

       根據(jù)機械能守恒，圓筒底部與擋板第二次碰前瞬間的速度為v₁，

       設(shè)碰后共同速度為v₂，由于筆所受電場力與重力平衡，

       根據(jù)動量守恒定律

             即                          ⑦ 1分

       直桿第2次上升的最大高度                                  ⑧ 1分

       同理可得，圓筒底部與擋板第n次碰后速度 

                 ⑨ 2分

       直桿第n次上升的最大高度                                  ⑩ 2分

       故直桿運動的總路程為               （11）2分

       聯(lián)立解得 

                                2分