Question

       圖示為兩個(gè)共軸金屬圓筒，軸線與紙面垂直，內(nèi)筒半徑為R，筒壁為網(wǎng)狀（帶電粒子可無阻擋地穿過網(wǎng)格）。當(dāng)兩圓筒之間加上一定電壓后，在兩圓筒間的空間可形成沿半徑方向的電場。內(nèi)圓筒包圍的空間存在一沿圓筒軸線方向的勻強(qiáng)磁場，磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為B，方向指向紙內(nèi)。一束質(zhì)量為m、電量為q的帶正電的粒子以各種不同的速率自內(nèi)圓筒壁上的A點(diǎn)沿內(nèi)圓筒半徑射入磁場，現(xiàn)要求有的粒子的運(yùn)動能滿足下面三個(gè)條件：①剛剛能到達(dá)外筒的內(nèi)壁而不與外筒相碰；②粒子恰能從A點(diǎn)射出磁場；③每個(gè)粒子在磁場區(qū)域內(nèi)運(yùn)動所經(jīng)過的總時(shí)間等于該粒子在所給磁場中做完整的圓周運(yùn)動時(shí)的周期的一半。

(1)為了能滿足上述要求，內(nèi)、外筒間電壓的可能值應(yīng)是多少？

(2)討論上述電壓取最小值時(shí)，粒子在磁場中的運(yùn)動情況。

Answer 1

(1)   k = 1, 2, 3, … (2)

解析:

[1] 設(shè)帶電粒子自A點(diǎn)沿內(nèi)圓筒半徑方向射入磁場時(shí)的速度用v表示，進(jìn)入磁場后，在洛侖茲力作用下粒子做圓周運(yùn)動，并從內(nèi)筒表面上的A₁點(diǎn)射出磁場，射出磁場時(shí)的速度大小仍為v，方向沿過A₁點(diǎn)的內(nèi)圓筒半徑方向，如圖所示。粒子自A₁射出磁場后便進(jìn)入兩圓筒間的電場中，在電場力的作用下，粒子做減速直線運(yùn)動，剛到達(dá)外圓筒的內(nèi)壁時(shí)，速度恰好減至零。然后粒子又在電場力作用下向A₁點(diǎn)做加速運(yùn)動，回到時(shí)，粒子速度增大到v，并以此速度沿圓筒內(nèi)圓半徑方向第二次進(jìn)入磁場，在磁場的洛侖茲力作用下，粒子又做圓周運(yùn)動，并從A₂點(diǎn)射出磁場。此后，粒子又再一次在電場中減速，到達(dá)外壁時(shí)調(diào)轉(zhuǎn)方向加速回到A₂點(diǎn)，從A₂點(diǎn)進(jìn)入磁場，再做圓周運(yùn)動并從A₃點(diǎn)射出磁場。這一過程多次重復(fù)到最后，粒子再次從A點(diǎn)射出磁場。

    設(shè)粒子做圓周運(yùn)動的半徑為r，從A點(diǎn)射入磁場到從A₁點(diǎn)射出磁場經(jīng)歷的時(shí)間為t，繞圓心o’轉(zhuǎn)過的角度為Ф，過A點(diǎn)和A₁點(diǎn)的內(nèi)圓筒半徑對其軸線o的張角為θ，如圖所示。有

                 ⑴

               ⑵

若粒子在磁場中經(jīng)過n次偏轉(zhuǎn)后能從A點(diǎn)射出磁場，應(yīng)滿足條件nθ = 2kπ  ⑶

根據(jù)題意有           ⑷

而                  ⑸

解以上各式得n = 2k+1        k = 1, 2, 3, …     ⑹

        k = 1, 2, 3, …     ⑺

連結(jié)圖中的oo’，由直角三角形Aoo’可得:                      ⑻

因r是粒子在洛侖茲力作用下做圓周運(yùn)動的軌道半徑，有       ⑼

由⑵、⑻、⑼式得到粒子射入磁場時(shí)的速度             ⑽

設(shè)加在兩圓筒間的電壓為U，由能量守恒有                   ⑾

把⑽式代入⑾式得 k = 1, 2, 3, …     ⑿

[2] 當(dāng)k=1時(shí)，對應(yīng)射入磁場的速度為最小，加在兩圓筒間的電壓亦為最小，

                  ⒀

                 ⒁

由⑹式可知粒子在磁場中偏轉(zhuǎn)的次數(shù)為  n = 3       ⒂

由⑺式可知每次偏轉(zhuǎn)的角度        θ₃ = 120°         ⒃

由⑻式和⑺可知粒子在磁場內(nèi)做圓周運(yùn)動的半徑     ⒄

粒子在磁場內(nèi)運(yùn)動的總路程                          ⒅