Question

如圖所示，傾角為θ的足夠長(zhǎng)的光滑絕緣斜面上存在寬度均為L(zhǎng)的勻強(qiáng)磁場(chǎng)和勻強(qiáng)電場(chǎng)區(qū)域，磁場(chǎng)的下邊界與電場(chǎng)的上邊界相距為3L，其中電場(chǎng)方向沿斜面向上，磁場(chǎng)方向垂直于斜面向下、磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為B．電荷量為q的帶正電小球（視為質(zhì)點(diǎn)）通過(guò)長(zhǎng)度為L(zhǎng)的絕緣輕桿與邊長(zhǎng)為L(zhǎng)、電阻為R的正方形單匝線框相連，組成總質(zhì)量為m的“”型裝置，置于斜面上，線框下邊與磁場(chǎng)的上邊界重合．現(xiàn)將該裝置由靜止釋放，當(dāng)線框下邊剛離開磁場(chǎng)時(shí)恰好做勻速運(yùn)動(dòng)；當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)到電場(chǎng)的下邊界時(shí)剛好返回．已知L=1m，B=0.8T，q=2.2×10^-6C，R=0.1Ω，m=0.8kg，θ=53°，sin53°=0.8，g取10m/s²．求：
（1）線框做勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度大��；
（2）電場(chǎng)強(qiáng)度的大��；
（3）正方形單匝線框中產(chǎn)生的總焦耳熱．

Answer 1

分析：（1）線框做勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)重力的分力與安培力平衡，根據(jù)平衡，結(jié)合切割產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)、閉合電路歐姆定律求出勻速運(yùn)動(dòng)的速度．
（2）從線框剛離開磁場(chǎng)區(qū)域到小球剛運(yùn)動(dòng)到電場(chǎng)的下邊界這段過(guò)程為研究過(guò)程，運(yùn)用動(dòng)能定理求出電場(chǎng)強(qiáng)度的大�。�
（3）根據(jù)能量守恒求出線框下邊界第一次進(jìn)入磁場(chǎng)到上邊界第一次離開磁場(chǎng)過(guò)程中線框產(chǎn)生的熱量．因?yàn)榻?jīng)足夠時(shí)間后，線框上邊界運(yùn)動(dòng)到磁場(chǎng)下邊界時(shí)速度恰好為零，線框最終不會(huì)再進(jìn)入磁場(chǎng)，即線框之后運(yùn)動(dòng)的最高點(diǎn)是線框的上邊與磁場(chǎng)的下邊界重合，不再產(chǎn)生焦耳熱．對(duì)線框從上邊界第一次離開磁場(chǎng)至線框的上邊與磁場(chǎng)下邊界重合的最終狀態(tài)的過(guò)程中產(chǎn)生的熱量．從而得出總熱量．

解答：解：（1）設(shè)線框下邊離開磁場(chǎng)時(shí)做勻速直線運(yùn)動(dòng)的速度為v₀，則：
E=BLv₀
I=

E

R

FA=BIL=

B2L2v0

R

根據(jù)平衡條件有：mgsinθ=

B2L2v0

R

解得v0=

mgRsinθ

B2L2

=1m/s．
（2）從線框剛離開磁場(chǎng)區(qū)域到小球剛運(yùn)動(dòng)到電場(chǎng)的下邊界．
根據(jù)動(dòng)能定理：-qEL+mgsinθ×2L=0-

1

2

mv02
可得：E=6×10⁶N/C
（3）設(shè)從線框下邊界第一次進(jìn)入磁場(chǎng)到上邊界第一次離開磁場(chǎng)過(guò)程中線框產(chǎn)生的熱量為Q₁，
對(duì)該過(guò)程運(yùn)用能量守恒得：mg?2Lsinθ=Q1+

1

2

mv02．
經(jīng)足夠時(shí)間后，線框上邊界運(yùn)動(dòng)到磁場(chǎng)下邊界時(shí)速度恰好為零，線框最終不會(huì)再進(jìn)入磁場(chǎng)，即線框之后運(yùn)動(dòng)的最高點(diǎn)是線框的上邊與磁場(chǎng)的下邊界重合，不再產(chǎn)生焦耳熱．
設(shè)線框從上邊界第一次離開磁場(chǎng)至線框的上邊與磁場(chǎng)下邊界重合的最終狀態(tài)的過(guò)程中產(chǎn)生的熱量為Q₂，
根據(jù)能量守恒有：Q2=

1

2

mv02
則Q=Q₁+Q₂=12.8J．
答：（1）線框做勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度大小為1m/s．
（2）電場(chǎng)強(qiáng)度的大小6×10⁶N/C
（3）正方形單匝線框中產(chǎn)生的總焦耳熱為12.8J．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了能量守恒定律、閉合電路歐姆定律以及切割產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)大小，綜合性強(qiáng)，對(duì)學(xué)生的能力要求高，關(guān)鍵理清線框的運(yùn)動(dòng)情況，選擇合適的規(guī)律求解．